Пример 4.2.1

Покажем, что для любого фиксированного последовательность случайных величин сходится по вероятности при к значению функции распределения генеральной совокупности в точке :

, (4.2.2)

(теорема Гливенко).

◄Число значений выборки , удовлетворяющих неравенству можно рассматривать как число успехов в серии из испытаний Бернулли, где -е испытание состоит в измерении -ой реализации случайной величины и успехом считается выполнение условия . Вероятность успеха равна .

,

…

Рис. 4.2.5. Приближённое представление функции распределения с помощью

Согласно теореме Бернулли (один из законов больших чисел) или при , т.е. соотношение (4.2.2) выполняется.►

Таким образом, эмпирическую функцию распределения можно рассматривать как приближённое представление функции распределения генеральной совокупности , см. рис. 4.2.5. С увеличением объёма выборки точность и достоверность этого представления возрастают.