Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Коэффициент линейной корреляции, исчисленный по выборочным данным является случайной величиной. Полученный из выборки коэффициент корреляции r является оценкой коэффициента корреляции r в генеральной совокупности. С уменьшением числа наблюдений надежность коэффициента корреляции падает. Оценка существенности (значимости) линейного коэффициента корреляции основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой :
,
При оценке значимости коэффициента корреляции обычно рассматриваются следующие ситуации.
1. Если число наблюдений достаточно велико (обычно свыше 30), а значение коэффициента корреляции не превышает 0.9, распределение коэффициента корреляции r можно считать приближенно нормальным со средней квадратической ошибкой
,
При достаточно большом числе наблюдений r должен превышать свою среднюю ошибку не менее, чем в три раза: . Если это неравенство не выполняется, то существование связи между признаками нельзя считать доказанным.
Задавшись определенной вероятностью, можно построить доверительные границы r:
Так, например, при вероятности 0,95, для которой t = 1,96, доверительные границы составят
,
При вероятности 0,997, для которой коэффициент доверия t = 3, доверительные границы составят
Поскольку значение r не может превышать единицу, то в случае, если > 1, следует указать только нижний предел, то есть утверждать, что реальный r не меньше, чем .
2. Для малого объема выборки, с распределением r далеким от нормального, применяются другие методы оценки значимости коэффициента корреляции. При небольшом числе наблюдений (n < 30), средняя ошибка линейного коэффициента корреляции находится по формуле:
а значимость проверяется на основе t критерия Стьюдента. При этом выдвигается гипотеза о равенстве коэффициента корреляции нулю, то есть об отсутствии связи между y и x в генеральной совокупности. Для этого используется статистика:
расчетное значение которой сопоставляется с табличным, из таблиц распределения Стьюдента. Если нулевая гипотеза верна, то есть r =0, то распределение t - критерия подчиняется закону распределения Стьюдента с n-2 степенями свободы и принятым уровнем значимости (обычно 0,05). В каждом конкретном случае по таблице распределения t -критерия Стьюдента находится табличное (критическое) значение t, которое допустимо при справедливости нулевой гипотезы, и с ним сравнивается фактическое (расчетное) значение t. Если t расч. > t табл ., то нулевая гипотеза отклоняется и линейный коэффициент считается значимым, а связь между x и y – существенной. И наоборот.
3. При малом числе наблюдений в выборке и высоком коэффициенте корреляции (распределение r отличается от нормального) для проверки гипотезы о наличии корреляционной связи, а также построения доверительного интервала применяется z-преобразование Фишера.
Для этого рассчитывается величина
Распределение z приближается к нормальному. Вариация z выражается формулой
Рассчитаем z критерий для примера 1, поскольку в этом случае мы имеем небольшое число наблюдений и высокий коэффициент корреляции.
.
Чтобы не вычислять значения логарифмов, можно воспользоваться специальными таблицами Z-преобразований (Ефимова М.Р. стр. 402, Шмойлова Р.А. стр.446, Елисеева И.И. стр.473). Находим, что коэффициенту корреляции 0,94 соответствует Z=1,74.
Находим
Отношение Z к средней квадратической ошибке равно 3. Таким образом, мы можем полагать действительное наличие связи между величиной выпуска продукции и расходом электроэнергии для всей совокупности предприятий.
6.4. Ранговая корреляция
Если n вариантов рядарасположены в соответствии с возрастанием или убыванием признака х, то говорят, что объекты ранжированы по этому признаку. Ранг для хi указывает место, которое занимает i -е значение признака среди других n значений признака х (i=1,2,..n).
Например, при исследовании рынка можно задаться целью выяснения предпочтений потребителей при выборе товара (при покупке акций, мороженного, водки и т.п.), таким образом, чтобы они распределили товар в порядке возрастания (или убывания) своих потребительских предпочтений. Если имеется два набора ранжированных данных, то можно установить степень линейной зависимости между ними. Предположим имеется 5 продуктов, которые ранжированы по порядку предпочтений от 1 до 5 в соответствии с двумя характеристиками А и В.
Характеристики для ранжирования | Продукты V W X Y Z |
A B | 2 5 1 3 4 1 3 2 4 5 |
Для определения наличия взаимосвязи между ранговыми оценками используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Его расчет основан на различиях между рангами.
Обозначим D= ранг A – ранг B
Коэффициент Спирмена равен: ,
где n – число пар ранжированных наблюдений.
В нашем примере мы имеем пять пар рангов, следовательно, n = 5. Cумма D2 равна:
(2-1)2 + (5-3)2 + (1-2)2 + (3-4)2 + (4-5)2=1+4+1+1+1=8
Коэффициент Спирмена равен:
То есть мы нашли достаточно сильную линейную связь. Коэффициент Спирмена изменяется в интервале от [-1; 1] и интерпретируется так же как и коэффициент Пирсона. Разница лишь в том. что он вычисляется для ранжированных данных.
Значимость коэффициента Спирмена проверяется на основе t критерия Стьюдента по формуле: . (12).
Значение коэффициента считается существенным, если tрасч. > tкрит. (a; k = n-2).
Дата публикования: 2015-01-09; Прочитано: 913 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!