Вариация альтернативного признака

Среди признаков, изучаемых статистикой, есть такие, которые принимают лишь два взаимно исключающих значения. Это – альтернативные признаки. Им придается соответственно два значения: 1 и 0. Частостью варианта 1 (она обозначается ) является доля единиц, обладающих данным признаком, в общей численности совокупности. Разность является частостью варианта 0. Таким образом:

Средняя арифметическая альтернативного признака

Дисперсия альтернативного признака

,

то есть дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающим этим признаком.

Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, то дисперсия достигает своего максимума

Правило сложения дисперсий распространяется и на дисперсии доли признака, то есть доли единиц с определенным признаком в совокупности, разбитой на группы.

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле

Средняя из внутригрупповых дисперсий рассчитывается так:

Формула межгрупповой дисперсии имеет следующий вид:

где n_i – численность единиц в отдельных группах;

р_i – доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяется по формуле:

Общая дисперсия определяется по формуле

Три вида дисперсий объединены между собой следующим образом:

Это – правило сложения дисперсии доли признака.

Пример. Имеются следующие данные об удельном весе основных рабочих в трех цехах фирмы:

Удельный вес основных рабочих фирмы

Цех	Удельный вес основных рабочих в % (pi)	Численность всех рабочих
Итого	-

1) Определим долю рабочих в целом по фирме (формула 4)

2) Общая дисперсия доли основных рабочих по всей фирме в целом будет равна (формула 5)

3) Внутрицеховые дисперсии рассчитаем, применив формулу 1

4) Средняя из внутригрупповых дисперсий будет равна (формула 2)

5) Межгрупповую дисперсию определим по формуле 3

Проверка вычислений показывает: 0,154 = 0,15 + 0,004.

Контрольные вопросы к теме «Показатели вариации»

1. Чем вызвана необходимость изучения вариации признака?

2. Укажите основные показатели вариации.

3. Какие вам известны способы расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения?

4. Как определяется дисперсия альтернативного признака?

5. Что такое коэффициент вариации?

6. Правило сложения дисперсий. Что показывают частная (внутригрупповая), средняя из частных, межгрупповая и общая дисперсии?

7. Как рассчитываются и что характеризуют коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение?

Контрольные задания к теме «Показатели вариации»

1. Дисперсия признака равна 600. Объем совокупности равен 10. Сумма квадратов индивидуальных значений признака равна 6250. Найти среднюю величину.

2. Средняя величина в совокупности равна 15, среднее квадратическое отклонение равно 10. Чему равен средний квадрат индивидуальных значений этого признака?

3. Средняя величина в совокупности равна 13, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака равен 174. Определить коэффициент вариации.

4. Дисперсия признака равна 360000, коэффициент вариации равен 50%. Чему равна средняя величина признака?

5. Дисперсия признака равна 360, средний квадрат индивидуальных значений равен 585. Чему равна средняя?

6. Определить дисперсию признака, если средняя величина признака равна 2600, а коэффициент вариации признака равен 30%.

7. Общая дисперсия равна 8,4. Средняя величина признака для всей совокупности равна 13. Средние по группам равны соответственно 10, 15 и 12. Численность единиц в каждой группе составляет 32, 53, и 45. Определить среднюю внутригрупповую дисперсию.

8. По совокупности, состоящей из 100 единиц, известны: средняя арифметическая – 47,0; сумма квадратов индивидуальных значений признака–231592. Определить, однородна ли изучаемая совокупность.

9. Определить величину эмпирического корреляционного отношения, если общая дисперсия равна 15,2; групповые средние ; , а численность групп соответственно равны 75, 60 и 65.

10. Для изучения уровня заработной платы рабочих на предприятии обследовано 500 мужчин и 300 женщин. Результаты исследования показали, что у мужчин средняя заработная плата составила 1200 у.е. при среднеквадратическом отклонении 200 у.е., у женщин соответственно 800 у.е. и 150 у.е.

Определить: 1) среднюю заработную плату работников;

2) дисперсии заработной платы и коэффициент вариации;

3) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

11. Имеются данные о чистой прибыли (балансовой за вычетом налогов) предприятий двух районов:

Район	Число предприятий	Чистая прибыль, млн. руб.
		4, 6, 9, 4, 7, 6
		8, 12, 8, 9, 6, 5, 7, 7, 8, 10

Определите дисперсии чистой прибыли: групповые (по каждому району), среднюю из групповых, межгрупповую и общую.

12. Имеются данные о заработной плате по двум группам работников:

Группы работников	Число работников	Заработная плата, у.е
Работающие в 1-й фирме
Работающие в 2-х фирмах

Найти все виды дисперсий заработной платы, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

13. Имеются следующие данные о среднем ежедневном времени занятости семейных женщин в домашнем хозяйстве:

Возрастные группы семейных женщин в домашнем хозяйстве	Численность женщин в группе	Частные средние (часов в день)	Частные дисперсии
до 25		2,0	4,0
25-45		3,5	6,8
свыше 45		3,2	5,0

Найти общую дисперсию занятости, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

14. Есть две группы людей с разным месячным доходом (тыс. руб.):

Группа А: 3, 3, 3, 4.

Группа Б: 6, 6, 7.

В какую группу нужно отнести человека с доходом 5 тыс. руб. в месяц.

15. По результатам маркетингового исследования туристических фирм, организующих недельные туры в Турцию в различные курортные города, получены следующие данные о вариации стоимости туров (цены приведены для гостиниц одного класса):

Месторасположение курорта	Число туристических фирм	Средняя цена недельного тура, у.е.	Дисперсия цен тура в группе
Анталия
Бодрум
Итого

Найти общую дисперсию, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

16. По данным выборочного обследования заработной платы работников бюджетной сферы получены следующие показатели:

Отрасль	Средняя заработная плата, руб.	Численность работников, чел.	Дисперсия заработной платы
здравоохранение
образование

Определить: 1) среднюю заработную плату работников по двум отраслям;

2) дисперсии заработной платы;

3) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

17. Имеются следующие данные (условные) по трем группам рабочих:

Стаж работы (лет)	Число рабочих	Средняя заработная плата, руб.	Среднеквадратическое отклонение заработной платы
до 3
3 –10
более 10

Рассчитать: 1) среднюю заработную плату всей совокупности рабочих;

2) дисперсии заработной платы;

3) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

18. При изучении бюджета времени студентов было проведено обследование учащихся ВУЗов. При обследовании ВУЗы были разбиты на 7 групп по специализации. Были получены следующие результаты среднего количества времени, затрачиваемого студентами ежедневно на самостоятельную работу:

ВУЗы по группам специальностей	Число обследованных студентов, тыс.чел.	Среднее число часов на самостоятельную работу	Средний квадрат отклонений
Промышленность и строительство		2,0	0,6
Транспорт		1,4	0,5
Право		1,7	0,3
Экономика		1,5	0,7
Здравоохранение		1,0	0,8
Искусство		1,6	1,0
Просвещение		1,8	0,.6

Используя правило сложения дисперсий определить зависимость между средним числом часов на самостоятельную работу от специализации студента.

19. Для определения средней величины расходов на полугодовую подписку на газеты и журналы обследуемая совокупность семей разбита на группы по уровня дохода на три группы. По группам получены следующие результаты:

Номер группы	Число семей в группе	Средние расходы на подписку, руб.	Групповые дисперсии

Определите все виды дисперсий расходов, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

20. В районе 20 тыс. семей, проживающих в городах, поселках городского типа и сельской местности. В результате были получены следующие данные о среднем числе детей в семьях:

Семьи, проживающие	Удельный вес семей в генеральной совокупности, %	Среднее число детей в семьях	Среднее квадратическое отклонение
В городах		2,3	1,2
В пос. гор. типа		1,8	0,5
В сельской местности		2,8	2,5

Используя правило сложения дисперсий определите коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

21. Имеются следующие выборочные данные о вкладах населения района:

Группы населения	Число вкладов	Средний размер вклада, тыс. руб.	Коэффициент вариации вклада, %
Городское
Сельское

Определите тесноту связи между средним размером вклада и типом населения, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

22. Капитал коммерческих банков характеризуется следующими данными:

№ п/п	Собственный капитал банков, млн. руб.	Число банков	Средний размер привлеченных средств (капитала), млрд. руб.	Дисперсия привлеченных средств
	30-40
	40-50
	50-60

Определите показатели тесноты связи между размером собственного капитала банков и привлеченными средствами, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Тема 7. Виды и формы связей, различаемые в статистике