Занятие 19 Столкновения

Исследование столкновения тел представляло собой большую трудность для первых механиков. Ею занимался Джован Баттиста Бальяни в своей работе «О движении твердых тел», 1638 г. Галилей собирался посвятить этому вопросу «День шестой» своих «Бесед», но хотя в дошедших до нас фрагментов никакого решения мы не найдем. На этом подводном камне потерпела крушение вся механика Декарта.

В своей работе «О движении тел после удара», опубликованной после его смерти, Гюйгенс рассматривает эту сложную задачу, утверждая, что если два одинаковых тела с равными, но противоположно направленными скоростями испытывают центральный удар, то они отлетают одно от другого с теми же скоростями, но поменявшими знак. Гюйгенс вывел законы соударения упругих тел, которые мало изменились при последующих исследованиях.

Эдм Мариотт исследовал те же задачи и чисто экспериментальным путем пришел примерно к тем же результатам. Ему принадлежит прибор, применяемый и сейчас для демонстрации передачи движения упругими телами и состоящий из ряда подвешенных на нитях упругих шаров, соприкасающихся друг с другом; если сместить первый шар и позволить ему падать, то последний шар поднимется вверх, а остальные останутся неподвижными. Законы соударения тел мы используем и сейчас при решении задач.

Решение задач:

1. Две частицы с массами m и 2m, имеющие импульсы р и р/2, движутся по взаимно перпендикулярным направлениям. После соударения частицы обмениваются импульсами. Определить потерю механической энергии при соударении.

Решение: Так как при соударении тела обмениваются импульсами, закон сохранения импульса автоматически выполняется. Кинетические энергии частиц

Е₁⁰ =р²/2m, Е₂⁰=р²/16m до соударения;

Е₁= р²/8m, Е₂= р²/4m после соударения.

По закону сохранения энергии Е₁⁰+ Е₂⁰ = Е₁+ Е₂+Q, где Q –потерянная при соударении механическая энергия. Подставляя значения Е, получаем Q =3р²/16 m.

2. Тело массой 20г., движущееся со скоростью 20м/с, налетает на покоящееся тело и после упругого соударения отскакивает от него под углом 90° к первоначальному направлению своего движения со скоростью 10м/с. Определить массу второго тела.

3. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Массы шаров 100г и 200г. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар: а)упругий; б)неупругий?

4. Тело массой 50г ударяется неупруго о покоящееся тело массой 200г. Найдите долю потерянной при этом энергии.

5. Два груза массами 10кг и 15кг подвешены на нитях длиной 2м так, что соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на 60° и отпущен. На какую высоту поднимутся оба груза после удара? Удар грузов считать непругим. Какое количество теплоты при этом выделяется? Занятие 20 О кинетической энергии.

В своей работе «О движении тел после удара» Христиан Гюйгенс выдвигает утверждение, что сумма произведений «каждого тела» на квадрат его скорости до и после удара остается неизменной. С этой теорией сохранения был знаком и Лейбниц, который называет произведение «тела» на квадрат его скорости «живой силой» и противопоставляет его «мертвой силе», или, как мы бы ее назвали теперь, потенциальной энергии. Первое выражение, как известно, осталось в науке до сих пор с изменением, внесенным Густавом Кориолисом, который в качестве меры живой силы предпочел принять половину произведения массы тела на квадрат его скорости.

С тех пор мы и пользуемся формулой, необходимой для расчета кинетической энергии.

1. Импульс тела равен 8кг м/с, а кинетическая энергия 16Дж. Найти массу и скорость тела.

Решение:

Е =mV²/2; р = mV; Е=рV/2; V =2Е/р; V =4м/с; m =р/V; m =2кг.

2. Шарик массой 100г, подвешенный на нити, длиной 40см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Какова кинетическая энергия шарика, если во время движения нить образует с вертикалью постоянный угол 60°?

3. Определить величину кинетической энергии тела массой 1кг, брошенного горизонтально со скоростью 20м/с, в конце четвертой секунды его движения.

4. Найти кинетическую энергию тела массой 3кг, свободно падающего с высоты 5м, на расстоянии 2м от поверхности земли.

5. Начальная скорость пули 600м/с, ее масса 10г. Под каким углом к горизонту она вылетела из дула ружья, если ее кинетическая энергия в высшей точке траектории равна 450Дж.

Занятие 21 О потенциальной энергии.

Лейбниц противопоставляет «живой силе» «мертвую силу», которую мы сейчас называем потенциальной энергией.

Итак, Лейбниц предложил оценивать «силу» (мы бы сказали – энергию) падающего тела высотой, на которую это тело могло бы подняться, если бы его бросили вверх с приобретенной им скоростью; таким образом, во всех случаях имело бы место равенство между живой силой и мертвой силой.

Решение задач:

1. Полтергейст обладает такой мощностью, что может поднимать сковородку массой 500г на высоту 2м за 0,2с. Сможет ли он заставить светиться в номинальном режиме лампочку мощностью 60Вт?

Решение: Р = mgh/t, Р =50Вт

Полтергейст не сможет заставить светиться лампочку мощностью 60Вт.

2. Действуя постоянной силой 200Н, поднимают груз массой 10кг на высоту 10м. Какой потенциальной энергией обладает поднятый груз?

3. На балкон, расположенный на высоте 6м бросили с поверхности земли предмет массой 200г. Во время полета предмет достиг максимальной высоты 8м от поверхности земли. Найти результирующее изменение потенциальной энергии.

4. К концу сжатия пружины детского пружинного пистолета на 3см приложенная к ней сила была равна 20 Н. Найти потенциальную энергию сжатой пружины.

5. Каково значение потенциальной энергии стрелы массой 50г, выпущенной из лука со скоростью 30м/с вертикально вверх, через 2с после начала движения? Занятие 22 Закон сохранения механической энергии.

Закон сохранения энергии позволяет установить количественную связь между различными формами движения материи. В этом состоит особое значение этого закона. Так же как и закон сохранения количества движения, он справедлив не только для механических движений, но и для всех явлений природы. Закон сохранения энергии говорит о том, что движение нельзя уничтожить, так же как нельзя создать движение из ничего. В природе возможны только переходы движений из одной формы в другую.

Решение задач:

1. Высота плотины Саяно-Шушенской ГЭС 237м. Разность высот между поверхностью воды в водохранилище и уровнем, на котором находятся турбины, 212м. Определить, какую скорость имела бы вода при входе на лопатки рабочих колес турбины, если бы она шла по водопадам без трения.

Решение:

Для решения сопоставим энергию для массы воды m до входа в водовод и после выхода из него на рабочее колесо турбины и применим закон сохранения энергии. Условимся потенциальную энергию воды на уровне рабочего колеса турбины считать равной нулю. Тогда до входа в водовод вода будет обладать только потенциальной энергией, равной mgh. При выходе из водовода на рабочее колесо турбины потенциальная энергия будет равна нулю, а кинетическая mV²/2. По закону сохранения энергии должно быть:

m g h = mV²/2, откуда V = √ 2gh.

2. С какой начальной скоростью надо бросить мяч с высоты 5м, чтобы он подпрыгнул на высоту 12м? Удар упругий. Сопротивлением воздуха пренебречь.

3. Конькобежец, разогнавшись до скорости 27км/ч, въезжает на ледяную гору. На какую высоту от начального уровня въедет конькобежец с разгона, если подъем горы составляет 0,5м на каждые 10м по горизонтали и коэффициент трения коньков о лед 0,02?

4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 49м/с. На какой высоте его кинетическая энергия равна потенциальной?

5. Груз массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1кг, укрепленную на пружине с жесткостью980Н/м. Определите наибольшее сжатие пружины, если в момент удара груз обладал скоростью5м/с. Удар считать неупругим.

Занятие 23 Применение законов физики в ядерной физике.

Первые механики даже и не предполагали, что законы механики будут использоваться в ядерной физике. Закон сохранения импульса и закон сохранения энергии нашли применение и в этом разделе физики.

Решение задач:

1. Атом распадается на две части, массы которых оказались равными М₁ и М₂. Определить их скорости, если общая кинетическая энергия частей равна Е.

Решение:

Движение частей атома после распада может быть описано уравнениями:

М₁V₁ = М₂V₂, М₁V₁²/2 + М₂V₂²/2 = Е,

первое из которых выражает закон сохранения импульса, а второе – закон сохранения энергии (V₁ и V₂ – скорости частей атома);

V₁ = М₂ (2Е/(М₁М₂² + М₂М₁²))^1/2, V₂ = М₁(2Е/ (М₁М₂² + М₂М₁²))^1/2. 2. При β-распаде атома радиоактивного изотопа радия ²²⁸Ra из него вылетает электрон с энергией 0,05МэВ. При этом изотоп радия превращается в изотоп актиния ²²Ас. Какую кинетическую энергию имеет атом актиния?

3. Нейтрон с энергией 10^-15 Дж поглощается первоначально неподвижным ядром кадмия. Определить скорость вновь образовавшегося ядра.

4. Нейтрон испытывает упругое соударение с ядром гелия и затем, отразившись, упруго соударяется с другим ядром гелия (при упругих соударениях суммарная кинетическая энергия сохраняется). Ядра гелия до соударения были неподвижны. Считая оба соударения центральными (скорости до и после соударения направлены вдоль линии центров соударяющихся частиц), определить, во сколько раз изменится энергия нейтрона после двух соударений.

5. α – частица, имеющая скорость 1000 м/с, налетает на атом углерода, который двигался до соударения в том же направлении, но со скоростью, вдвое меньшей. С какой скоростью перемещается центр масс системы соударяющихся частиц?