Занятие 15 Динамика движения тела в вязкой среде

Вся первая книга «Начал» Ньютона написана в предположении, что тела движутся в среде без сопротивления, под действием одних лишь приложенных сил. Для завершения учения о движении нужно исследовать, как это и делает Ньютон во второй книге, какие изменения испытывают законы движения, когда тела движутся в жидкости. Уаллис ввел предположение о том, что сопротивление жидкости движению тела пропорционально скорости этого тела. Однако Гюйгенс заметил, что с увеличением скорости тела возрастает масса перемещенной жидкости, так что сопротивление должно быть пропорционально квадрату скорости. Ньютон рассматривал оба эти случая. Он заметил, что движущееся в жидкости тело должно не только смещать жидкость, но и преодолевать ее вязкость; поэтому он считает сопротивление равным сумме двух членов; одного - пропорционального квадрату скорости и другого - пропорционального скорости. Результаты теории применимы к движению тел в среде с сопротивлением. Жидкое трение возникает между поверхностью твердого тела и окружающей его жидкой или газообразной средой, в которой оно движется. При медленном движении сила сопротивления пропорциональна скорости, а при быстром - квадрату скорости. Благодаря тому, что сила сопротивления растет с увеличением скорости, любое тело в вязкой среде при действии на него какой-либо постоянной силы, например силы тяжести. В конце концов тело начинает двигаться равномерно.

Решение задач:

1. Стеклянный шарик, радиус которого 2мм, падает в растворе глицерина. Определите установившуюся скорость и начальное ускорение шарика. Плотность стекла 2530кг/м³, а плотность глицерина 1210кг/м³. Считать, что при движении шарика в растворе глицерина на него со стороны раствора действует сила сопротивления F_с=6πkRV (закон Стокса), где коэффициент k=0,0502 Па×с-вязкость раствора.

Решение:

Уравнение движения шарика, падающего в растворе глицерина, в проекциях на вертикальную ось имеет вид

mg-F_А-F_с=mα, где 4/3πR³ρ – масса шарика, F_А= 4/3πR³ρ₀g-архимедова сила, действующая на шарик со стороны раствора.

Получаем 4/3πR³ρg-4/3πR³ρ₀g-6πkRV=4/3πR³ρα.

Установившуюся скорость найдем из условия, что ускорение равно нулю:

V_у=2R²g(ρ-ρ₀)/9k; V_у=23см/с.

Начальное ускорение получим из уравнения движения, полагая скорость равной нулю:

α₀=g(ρ-ρ₀)/ρ; α₀=5.1м/с^2×.

2. Два шара одинакового размера, но разных масс 200г и 100г связаны нитью, длина которой много больше их радиусов. При помещении в жидкость эта система шаров тонет. Какая сила натяжения будет действовать на соединяющую шары нить при их установившемся падении в жидкости?

3. Стальной и деревянный шарики одинакового объема падают в глицерине. Какой из них движется с большей скоростью при условии, что скорость тел установилась.

4. Одновременно опустили в воду два одинаковых бруска: один - плашмя, другой - ребром. Какой из них упадет раньше? Объясните явление.

5. Установившаяся скорость движения стального шарика, радиус которого 4мм, равна 0,38м/с. Определите вязкость раствора.