Занятие 26 Закон сохранения момента импульса

В механике имеется три закона сохранения: импульса, энергии и момента импульса. Все они являются следствиями законов движения. Если при вращении тела вокруг неподвижной оси момент внешних сил относительно этой оси равен нулю, то, равна нулю производная момента импульса, а это означает, что момент импульса остается постоянным:

Jω = соnst.

Из неизменности момента инерции J твердого тела, вращающегося вокруг определенной оси, следует постоянство угловой скорости вращения. Так, если бы не было силы трения, то не менялась бы угловая скорость вращающегося на оси колеса. В замкнутой системе тел полный момент импульса остается постоянным. Этот закон выполняется всегда, как и закон сохранения импульса.

Решение задач:

1. На краю горизонтальной платформы массой m и радиусом R, которая может свободно вращаться относительно оси ОА, закреплена небольшая пушка. Платформа сначала покоится. Затем из пушки производится выстрел. Снаряд летит по касательной к краю платформы со скоростью V. Масса снаряда m_с, масса пушки m_п. Определите угловую скорость платформы после выстрела. Пушку и снаряд можно рассматривать как материальные точки.

О

А

Решение:

До выстрела момент внешних сил, действующих на пушку и платформу, равен нулю. Он равен нулю и после выстрела, так как при выстреле между пушкой и снарядом действуют лишь внутренние силы, суммарный момент которых равен нулю. Вследствие этого суммарный момент импульса снаряда, пушки и платформы остается неизменным. До выстрела он был равен нулю. Следовательно, он будет равняться нулю и после выстрела. Это означает, что момент импульса, которым обладает заряд, равен по модулю и противоположен по знаку моменту импульса платформы и пушки.

Момент импульса снаряда равен произведению импульса снаряда m_сV на плечо, т.е. m_сVR. Момент импульса платформы и пушки состоит из двух частей: момента импульса платформы 1/2· mR²ω. Учитывая, что момент импульса снаряда равен по модулю суммарному моменту импульса пушки и платформы, получим равенство:

m_сVR. = m_пR²ω + 1/2·mR²ω.

Отсюда находим угловую скорость вращения:

ω = m_сVR/ (m_п + 1/2m)R.

2. На краю горизонтальной платформы, имеющий форму диска радиусом 2м и массой 4кг, стоит человек, масса которого 80кг. Платформа может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 2м/с относительно платформы?

3. Однородный тонкий стержень массой 0,2кг и длиной 0,2м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. В верхний конец стержня попадает пластилиновый шар массой 10г, движется со скоростью 10м/с и прилипает к стержню. Определить угловую скорость стержня.

О

О mV

4. Маховик, имеющий форму диска массой 48кг и радиусом 0,4м, может вращаться вокруг горизонтальной оси. К концу нити, намотанной на маховик, прикреплен груз массой 0,2кг, который удерживается на высоте 0,2м от пола. Какую максимальную угловую скорость приобретет маховик, если его отпустить?

5. На барабан с горизонтальной осью вращения радиусом 0,5м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 10кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что угловое ускорение 2рад/с². Трением пренебречь.