Введение. Ключевые понятия: предельный цикл, теорема Пуанкаре-Бендиксона

Ключевые понятия: предельный цикл, теорема Пуанкаре-Бендиксона

Рис. 6.0.1

Предельный цикл это изолированная замкнутая траектория. Изолированность означает, что все близкие траектории не замкнуты. Они либо «накручиваются» на предельный цикл, либо «раскручиваются» от него.

Если все соседние траектории приближаются к предельному циклу, то он называется устойчивым (аттрактором). В противном случае он называется неустойчивым. Устойчивые предельные циклы имеют большое значение в науке и технике, т.к. они моделируют устойчивые автономные колебательные процессы (происходящие без воздействия внешних сил). Существуют многочисленные примеры таких колебаний: суточные колебания температуры, некоторые химические реакции, сердечные биения, вибрации мостов и крыльев самолета и т.п.

В каждом из этих случаев имеются стандартные колебания определенного периода, формы и амплитуды. Если система подвергается кратковременному воздействию, параметры нарушаются, но через определенное время вновь приходят к начальному состоянию.

На Рис. 6.0.1 показаны неустойчивый, устойчивый и полуустойчивый предельные циклы соответственно.

Рис. 6.0.2

Предельные циклы – отличительная черта нелинейных систем, в линейных системах они не наблюдаются. Линейные системы могут иметь замкнутые орбиты (например, в окрестности неподвижной точки типа центр), но они не изолированы. Если – периодическое решение (замкнутая орбита), то, в силу линейности, также решение. Варьированием константы можно сделать решение сколь угодно близким к , поэтому изолированность орбиты невозможна (Рис.6.0.2).

Следовательно, амплитуда линейных колебаний полностью зависит лишь от начальных условий; любое малое изменение начальных условий меняет амплитуду. В нелинейных системах напротив, при любых начальных условиях из области притяжения аттрактора (предельного цикла), колебания определяются, в конечном счете, лишь структурой самого аттрактора.

В следующем разделе представлены два примера систем с предельным циклом. В первом случае предельный цикл угадывается по системе непосредственно, хотя обычно довольно трудно определить, когда система имеет предельный цикл. В разделах 6.2 – 6.4 представлена некая техника нахождения замкнутых орбит и доказательство их существования. Обсуждаются также аналитические методы приближенного нахождения формы предельного цикла, а также его устойчивость.