Упражнения к разделу 5

5.1 Фазовые портреты

Для каждой из систем найти неподвижные точки, нарисовать векторное поле и возможный фазовый портрет

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. .

Нарисовать фазовый портрет с помощью одной из СКМ

7. (осциллятор Ван дер Поля);

8. ; 9. (двухглазый монстр);

10. .

11. Известно, что система имеет ровно две неподвижные точки, и обе – седловые. Нарисовать фазовый портрет, если:

а) имеется единственная траектория, соединяющая их;

б) нет траекторий, соединяющих неподвижные точки.

12. Нарисовать фазовый портрет системы, если она имеет три замкнутых орбиты и одну неподвижную точку.

13. В Примере 5.1.1 мы доказали, что рассматриваемая система имеет одну неподвижную точку – седло . Неустойчивое многообразие это ось , а устойчивое многообразие – труднонаходимая кривая. Найдем приближенное представление этой кривой.

(а) Пусть – точка на устойчивом многообразии, лежащая достаточно близко к . Введем новую переменную и представим устойчивое многообразие как

.

Определите коэффициенты этого разложения.

(б) Проверьте, что этот результат действительно соответствует кривой, изображенной на Рис. 5.1.2.

5.2. Существование и единственность.

1. Мы считаем, что никакие две траектории не могут пересекаться. Однако на многих фазовых портретах различные траектории пересекаются в неподвижной точке. Нет ли здесь противоречия?

2. Рассмотрим систему

.

(а) Пусть есть открытый круг . Показать, что в этой области система удовлетворяет теореме существования и единственности.

(б) Проверить подстановкой, что и есть точное решение системы.

(в) Рассмотреть решение системы с начальными условиями , . Не производя выкладок показать, что это решение удовлетворяет условию , .

5.3. Неподвижные точки и линеаризация

В каждой из следующих систем найти неподвижные точки, определить их тип и нарисовать вероятный фазовый портрет.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. .

7. Построить фазовый портрет каждой из систем 1–6.

8. Частица движется вдоль линии, соединяющей две массы и , находящиеся на расстоянии друг от друга. Пусть – расстояние от частицы до массы .

(а) Показать, что , где – гравитационная постоянная.

(б) Найти точку равновесия частицы и определить ее тип.

9. Рассмотреть систему

.

(а) Найти неподвижные точки и рассклассифицировать их.

(б) Показать, что линия является инвариантом, т.е. всякая траектория, стартующая на ней, остается на этой линии.

(в) Показать, что при для всех других траекторий.

(г) Нарисовать фазовый портрет.

(д) Нарисовать с помощью компьютера фазовый портрет системы на области . Не приближаются ли траектории при к некоторой определенной кривой, и не можете ли вы найти уравнение этой кривой?

10. (Исследование неподвижной точки, для которой линеаризация «не работает»). Рассмотреть систему

.

(а) Показать, что согласно линеаризации, – не изолированная неподвижная точка.

(б) Показать, что на самом деле – изолированная неподвижная точка.

(в) Определить тип неподвижной точки, используя векторное поле. Нарисовать фазовый портрет.

(г) Нарисовать фазовый портрет с помощью компьютера для проверки (в).

[Эту задачу можно решить с помощью теории центрального многообразия (см. [4])].

11. Рассмотреть систему в полярных координатах

.

(а) Найти и для начальных условий .

(б) Показать, что и при . Поэтому начало координат есть устойчивый фокус нелинейной системы.

(в) Переписать систему в декартовых координатах.

(г) Показать, что линеаризация системы в начале координат имеет вид

.

Поэтому начало – устойчивый звездный узел.

12. Используя формулу , показать, что .

13. Рассмотреть систему

.

Показать, что начало координат есть неподвижнгая точка типа фокус, в то время как для линеаризации это центр.

14. Определить тип неподвижной точки в начале координат для системы

при всех действительных значениях .

15. Рассмотреть систему

,

где – полярные координаты. Построить фазовый портрет и показать, что неподвижная точка , есть аттрактор, но неустойчива по Ляпунову.

16. Рассмотреть систему

,

где – параметр.

(а) Нарисовать фазовый портрет при и показать, что имеется траектория, соединяющая две седловые точки.

(б) С помощью компьютера, если необходимо, нарисовать фазовые портреты для и .

В результате выполнения упражнения выясняется, что при фазовые портреты имеют различные топологические свойства: седла не всегда соединяются траекторией. Таким образом, фазовый портрет не обладает структурной устойчивостью по параметру.

17. Система

имеет «нехорошую» неподвижную точку в начале координат. Это неподвижная точка высшего порядка. Используя полярные координаты, или иначе, нарисовать фазовый портрет.

5.4 Кролики и овцы

Рассмотреть следующие модели конкуренции двух биологических видов при . Найти неподвижные точки, исследовать их устойчивость, нарисовать «нулевые» линии и сделать набросок фазового портрета. Определить бассейны аттракторов.

1. ; 2. ; 3. .

4. Простейшая модель конкуренции имеет вид

, .

(а) Почему эта модель менее реалистична, чем рассмотренная в тексте выше?

(б) Показать, что модель можно обезразмерить и привести к виду

.

Найти соответствующие формулы.

(в) Нарисовать «нулевые» линии и векторное поле для системы (б).

(г) Нарисовать фазовый портрет и дать биологическую интерпретацию.

(д) Показать, что почти все траектории системы имеют вид

.

Какие траектории не относятся к этому типу?

5. Предположим, что вид №1 имеет ограниченный коэффициент роста (размножения) . Тогда система имеет вид

.

Приведите ее к безразмерному виду и проанализируйте. Покажите, что есть два качественно различных типа фазовых портретов, зависящих от величины (нарисуйте «нулевые» линии).

6. Предположим, что оба вида имеют конечный коэффициент роста:

.

(а) Приведите модель к безразмерному виду.

(б) Покажите, что имеется четыре качественно различных типа фазовых портретов.

(в) Найти условия, при которых два вида могут устойчиво сосуществовать. Объясните биологический смысл этих условий (коэффициент роста отражает взаимодействие внутри вида, а коэффициент – взаимодействие между видами).

5.5 Консервативные системы

1. Рассмотреть систему

.

(а) Найти все точки равновесия и определить их тип.

(б) Найти первый интеграл системы.

(в) Нарисовать фазовый портрет.

2. Рассмотреть систему

.

(а) Найти все неподвижные точки и определить их тип.

(б) Нарисовать фазовый портрет.

(в) Найти уравнение гомоклинической орбиты, которая разделяет замкнутые и не замкнутые траектории.

3. Найти первый интеграл системы

и сделать набросок фазового портрета при , и .

4. Набросать фазовый портрет системы

при , и .

5. Исследовать устойчивость равновесных точек системы

для всех действительных значений .

6. В упражнении №21 (к Разделу 2) мы рассмотрели модель эпидемии Кермака–Маккендрика и исследовали ее путем сведения к уравнению первого порядка. В этом упражнении анализ модели облегчается за счет использования фазового портрета. Как и раньше, мы предполагаем, что – число здоровых людей и – число больных людей. Тогда модель имеет вид

,

где (уравнение для мы отбрасываем, т.к. предполагаем, что число умерших не играет роли для динамики и ).

(а) Найти неподвижные точки и определить их тип.

(б) Нарисовать «нулевые» линии и векторное поле.

(в) Найти первый интеграл системы.

(г) Нарисовать фазовый портрет. Что происходит при ?

(д) Пусть – начальная точка. Говорят, что эпидемия возникает, если возрастает в начале пути фазовой точки по траектории. Каковы начальные условия для возникновения эпидемии?

Гамильтоновы системы, являющиеся основой классической механики, эквивалентны законам Ньютона, но носят более геометрический характер. Они играют главную роль в небесной механике и физике плазмы, где диссипацией иногда пренебрегают. Теория гамильтоновых систем хорошо разработана, но, возможно, слишком сложна для первого знакомства с динамическими системами (см. [3], [7], [9]).

Мы рассмотрим здесь простейшие из гамильтоновых систем. Пусть – гладкая действительная функция двух переменных. Переменная называется обобщенной координатой, а – обобщенным импульсом. Тогда система вида

называется гамильтоновой системой, а функция – гамильтонианом. Уравнения системы называются уравнениями Гамильтона.

Следующие два упражнения касаются гамильтоновых систем.

7. Для простого гармонического осциллятора массой , положением и импульсом , гамильтониан имеет вид

, где – коэффициент.

Написать уравнения Гамильтона. Показать, что одно уравнение дает обычное определение импульса, а другое эквивалентно . Проверить, что задает энергию.

8. Показать, что для любой гамильтоновой системы – первый интеграл.

9. Предположим, что мы внесли малое торможение в модель осциллятора с двумя ямами (Пример 6.5.2). Новая система примет вид

,

где . Нарисовать бассейн аттрактора . Сделать рисунок достаточно большим, чтобы глобальная структура бассейна была продемонстрирована.

10. Рассмотрим систему

.

(а) Показать, что есть первый интеграл.

(б) Показать, что неизолированная неподвижная точка.

(в) Поскольку имеет локальный минимум в начале координат, то можно предположить, что – центр. Однако Теорема 5.5.1 здесь неприменима, т.к. неизолированная неподвижная точка. Показать, что фактически начало координат не окружается замкнутыми орбитами и сделать набросок фазового портрета.

11. Рассмотрим уравнение Дюффинга

.

(а) Показать, что уравнение имеет нелинейный центр в начале координат для всех .

(б) Показать, что при все траектории вблизи нуля замкнуты. Что можно сказать о траекториях, расположенных далеко от начала?

12. Рассмотрим модель полета планера со скоростью и углом наклона к горизонтали. Его движение задается приближенными обезразмеренными уравнениями

,

где «тригонометрические» слагаемые представляют влияние тяготения, а члены, содержащие – влияние торможения и подъемной силы.

(а) Предположим, что торможения нет . Показать, что первым интегралом будет выражение . Нарисовать для этого случая фазовый портрет. Каков будет полет планера?

(б) Исследовать случай положительного торможения .

13. (Кролики и лисы) Рассмотрим систему

,

которая называется моделью Вольтерра-Лотка. Она описывает взаимодействие хищников и жертв. Здесь – число кроликов, – число лис, – параметры.

(а) Рассмотреть биологический смысл каждого слагаемого модели. Выяснить, когда модель не соответствует реальности.

(б) Показать, что модель может быть обезразмерена и примет вид

.

(в) Найти первый интеграл системы (б).

(г) Показать, что модель предсказывает циклические изменения популяций для почти всех начальных условий.

5.6 Обратимые системы

Показать, что каждая из следующих систем обратима и нарисовать ее фазовый портрет.

1. ; 2. .

3. Рассмотреть систему

.

(а) Показать, что система обратима.

(б) Найти все неподвижные точки и определить их тип.

(в) Показать, что линии и являются инвариантными множествами фазовой плоскости (все траеттории, стартующие на них, остаются на них при любом ).

(г) Нарисовать фазовый портрет.

4. Для каждой из следующих систем нарисовать фазовый портрет вначале на бумаге, затем с помощью компьютера:

а) ; б) ; в) .

5. Рассмотрим уравнение вида

,

где есть четная функция, и обе функции и – гладкие.

(а) Показать, что уравнение инвариантно относительно замены .

(б) Показать, что точки равновесия не могут быть устойчивыми узлами или фокусами.

6. Использовать качественные аргументы для построения фазового портрета в Примере 5.6.1.

(а) Нарисовать «нулевые» линии и .

(б) Определить области знакопостоянства на фазовой плоскости.

(в) Найти собственные значения и собственные векторы в седловых точках и .

(г) Рассмотреть неустойчивое многообразие точки . Используя знаки и доказать, что неустойчивое многообразие пересекает отрицательную полуось . Затем, используя обратимость системы, доказать существование гетероклинической траектории, соединяющей и .

(д) Используя простые аргументы доказать, что другие гетероклинические траектории существуют и нарисовать несколько таких траекторий.

7. Показать, что система

обратима и нарисовать ее фазовый портрет.

8. Является ли начало координат нелинейным центром системы

?

5.7. Теория индексов

1. Показать, что каждая из следующих неподвижных точек имеет индекс, равный :

а) устойчивый фокус; б) неустойчивый фокус; в) центр; г) дикритический узел; д) вырожденный узел.

Для каждой из следующих систем найти неподвижные точки и вычислить их индексы.

2. ; 3. ; 4. ; 5. .

6. Используя теорию индексов показать, что система

не имеет замкнутых орбит.

7. Гладкое векторное поле на фазовой плоскости имеет три замкнутые орбиты , и . Две орбиты ( и ) лежат внутри третьей (). Однако не лежит внутри и наоборот.

(а) Нарисовать расположение циклов.

(б) Показать, что имеется, по крайней мере, одна неподвижная точка в области, окруженной , и .

8. Гладкое векторное поле на плоскости имеет две замкнутые траектории, одна из которых лежит внутри другой. Внутренний цикл закручивается по часовой стрелке, а внешний – против. Верно ли, что между циклами имеется, по крайней мере, одна неподвижная точка?

9. Рассмотрим гладкое векторное поле

на плоскости. Пусть – простая замкнутая кривая, не проходящая через неподвижную точку и .

(а) Показать, что .

(б) Получить интегральную формулу для вычисления индекса

.

10. Рассмотреть семейство линейных систем

,

где . Пусть – замкнутая кривая, не проходящая через начало координат.

(а) Исследовать изменение типа неподвижной точки в начале координат в зависимости от .

(б) Используя интеграл из Упр.9, показать, что не зависит от .

(в) Пусть – окружность с центром в начале координат. Найти с помощью интеграла для любого заданного .