Обратимые системы

Многие механические системы обладают так называемой возвратно-временной симметрией. Это означает, что их динамика не изменяется при замене на . Действительно, механическая система вида симметрична по времени. Если мы сделаем замену переменной на , то вторая производная не изменится, поэтому и уравнение тоже не изменится. Однако скорость будет противоположна по знаку. Посмотрим, что это будет означать для фазового портрета.

Рассмотрим равносильную уравнению систему вида

,

где – скорость. Если сделать замену переменной и , то изменится только знак в правой части первого уравнения. Поэтому, если – решение системы, то – также ее решение. Следовательно, каждая траектория имеет двойника: они (траектории) симметричны относительно оси и взаимно обратно ориентированы.

Итак, мы называем обратимой систему второго порядка, инвариантную относительно преобразования и . Например, система вида

,

где – нечетная, а – четная функции по переменной , будет обратимой.

Обратимые системы отличаются от консервативных, но имеют с ними и общие свойства. Следующая теорема показывает, что нелинейный центр обратимых систем обладает той же стабильностью, что и для консервативных.

Теорема 5.6.1. Предположим, что начало координат есть центр для линеаризации обратимой системы

.

Тогда в некоторой окрестности этой точки все траектории замкнуты.

Набросок доказательства. Рассмотрим траекторию, стартующую на положительной полуоси возле начала координат. Достаточно близко от нуля поток образует «водоворот» возле неподвижной точки, за счет влияния линейного центра, поэтому предполагается, что траектория в конце концов пересечет и отрицательную полуось . Но система обратима, поэтому каждая траектория имеет двойника. Тогда исходная траектория и ее «двойник» образуют замкнутую орбиту. Отсюда следует утверждение теоремы.

Пример 5.6.1

Показать, что система

имеет нелинейный центр в начале координат и построить фазовый портрет.

Решение. Убедимся, что выполняется утверждение теоремы. Якобиан в начале координат имеет вид

.

Здесь , , поэтому начало координат – линейный центр. Поскольку система обратима, то, по Теореме 5.6.1, – нелинейный центр. Система имеет еще две неподвижные точки и . Легко показать, что это седла. Построив с помощью компьютера фазовый портрет, мы увидим следующее (Рис. 5.6.1).

Рис. 5.6.1

Заметим, что две седловые точки соединяются парой траекторий, которые называются гетероклиническими орбитами. Как и гомоклинические, они существенно более часто встречаются в обратимых, или консервативных системах, чем в других типах систем.

Пример 5.6.2

Используя обратимость показать, что система

имеет гомоклиническую орбиту в правой полуплоскости.

Рис. 5.6.2

Решение. Легко показать, что система имеет две неподвижные точки и , причем первая – седло. Рассмотрим неустойчивое многообразие седловой точки. Это многообразие выходит из седла по направлению вектора , следовательно, в некоторой окрестности нуля часть неустойчивого многообразия лежит в первом квадранте. Проследим путь точки , стартующей на неустойчивом многообразии вблизи начала координат. Во-первых, должна возрастать, т.к. . Во-вторых, возрастает при и убывает при . Поэтому точка вначале движется вверх и вправо, а затем вниз и вправо до пересечения с осью . Движение точки изображено на Рис. 5.6.2.

Легко видеть, что система является обратимой. В самом деле

и .

Рис. 5.6.3

Значит, рассмотренная траектория должна иметь двойника, симметричного ей относительно оси , но с противоположным направлением. Получается гомоклиническая орбита, изображенная на Рис. 5.6.3.

Имеется и более общее определение обратимости для систем высших порядков. Рассмотрим некое отображение фазового пространства в себя, удовлетворяющее условию . Это значит, что отображение, применяемое дважды, возвращает точку пространства на прежнее место. (В нашем двумерном примере симметрия относительно оси обладает именно таким свойством). Тогда система обратима, если она инвариантна относительно замены на .

Следующий пример иллюстрирует это общее свойство обратимости, а также проливает свет на различие между обратимостью и консервативностью.

Пример 5.6.3

Показать, что система

обратима, но не консервативна. Нарисовать фазовый портрет.

Рис. 5.6.4

Решение. Система инвариантна относительно замены переменных , и , поэтому она обратима, причем Чтобы убедиться в неконсервативности системы, надо показать, что она имеет притягивающую точку.

Неподвижные точки системы задаются формулой . Легко показать, что, например, точка будет притягивающей. Действительно, матрица Якоби в этой точке имеет вид

,

и , , . Поэтому неподвижная точка является устойчивым узлом (аттрактором). Система неконсервативна.

Построив с помощью компьютера фазовый портрет, мы получим картину, изображенную на Рис. 5.6.4.