Системы Льенара

В первой половине 20 века нелинейная динамика занималась исследованием нелинейных колебаний. Это было актуально в связи с широким использованием радио. Было обнаружено, что многие колебания в электрических цепях моделируются дифференциальным уравнением второго порядка

,

известным как уравнение Льенара. Это уравнение, с одной стороны, обобщает осциллятор Ван дер Поля, с другой стороны, служит моделью колебательного движения массы с нелинейной вязкостью и нелинейной возвращающей силой .

Уравнение Льенара эквивалентно системе

.

Теорема Льенара: Предположим, что и удовлетворяют следующим условиям:

(1) и непрерывно-дифференцируемы для всех ;

(2) является нечетной функцией;

(3) для любого ;

(4) - четная функция;

(5) нечетная функция имеет в точности один положительный нуль ; она отрицательна при и положительна и неубывает при , и при .

Тогда система Льенара имеет единственный устойчивый предельный цикл, окружающий начало координат на фазовой плоскости.

Этот результат кажется правдоподобным. Предписания функции означают, что возвращающая сила действует как пружина и противится любому перемещению. Предписания функции означают, что вязкость отрицательна для малых и положительна для больших . Поэтому малые колебания «подталкиваются», а большие – тормозятся. Значит, система стремится к колебаниям с некоей средней амплитудой.

Пример 6.4.1

Показать, что уравнение Ван дер Поля

имеет единственный устойчивый предельный цикл.

Решение. Здесь и , поэтому условия (1) – (4) выполнены. Чтобы проверить условие (5), заметим, что

.

Функция обращается в нуль при () и удовлетворяет остальным условиям в (5). Следовательно, уравнение Ван дер Поля имеет единственный устойчивый предельный цикл.