Гиперболические неподвижные точки, топологическая эквивалентность и структурная устойчивость

Если действительные части собственных значений не равны нулю, то неподвижная точка называется гиперболической. Гиперболические неподвижные точки устойчивы к малым нелинейным возмущениям. Негиперболические точки таким свойством не обладают.

Мы уже видели простой пример гиперболичности для векторного поля на прямой. В Разделе 1 упоминалось, что устойчивость неподвижных точек полностью определяется линеаризацией, если только . Это условие аналогично предположению о том, что для размерности равной двум.

Эти идеи обобщаются и на системы высших порядков. Так, неподвижная точка системы го порядка называется гиперболической, если все собственные значения имеют ненулевую действительную часть, т.е. для . Важная теорема Хартмана-Гробмана утверждает, что локальный фазовый портрет нелинейной системы в окрестности гиперболической неподвижной точки топологически эквивалентен фазовому портрету ее линеаризации. Это означает, что существует гомеоморфизм (взаимно однозначное соответствие) одного локального фазового портрета в другой так, что каждая траектория отображается на траекторию и направление на траекториях сохраняется. Интуитивно понятно, что два фазовых портрета эквивалентны, если один из них есть искаженная копия другого.

Гиперболические устойчивые точки демонстрируют структурную устойчивость: фазовый портрет структурно устойчив, если его топологические свойства не могут быть изменены произвольными малыми возмущениями векторного поля. Для примера, седло – структурно устойчиво, а центр – нет, т.к. весьма малые возмущения могут превратить центр в фокус.

Рассмотрим модель Вольтерра-Лотка конкуренции между двумя биологическими видами такими, как, например, кролики и овцы. Предположим, что виды конкурируют из-за питания (трава) и это питание ограничено. Мы сознательно упрощаем модель и игнорируем другие факторы, такие как хищники, сезонные эффекты, а также другие источники питания. Предполагаем, что:

1. Каждый вид (в отсутствии другого) размножается согласно логистической модели (Раздел 1). Кролики известны своей легендарной плодовитостью, поэтому коэффициент роста для них будет большим, чем для овец.

2. Когда кролики и овцы встречаются, начинается борьба за питание. Иногда кролики успевают пощипать траву, но обычно овцы отталкивают их в сторону. Считается, что эти конфликты происходят тем жестче, чем больше популяции.

3. Мы предполагаем также, что конфликты задерживают рост каждой популяции, но в большей степени это проявляется для кроликов.

Таким образом, модель может быть записана в следующем виде

,

где – популяция кроликов, – популяция овец, обе величины неотрицательны. Коэффициенты выбраны согласно предположениям, но они могут быть и изменены.

Для нахождения неподвижных точек решаем систему уравнений

и получаем , , и . Теперь составим якобиан и вычислим его в каждой точке для определения ее типа. Якобиан имеет вид

.

Далее:

1. . Неподвижная точка - неустойчивый узел. Собственные векторы здесь таковы , . Значит, векторное поле в начале координат касательно с осью Oy.

2. . Неподвижная точка - устойчивый узел. Собственные векторы , .

3. . Неподвижная точка также устойчивый узел. Собственные векторы , .

Рис. 5.4.1

4. . Неподвижная точка - седло. Собственные векторы , .

Теперь можно построить фазовый портрет, используя данные исследования. Фазовый портрет имеет интересную биологическую интерпретацию. Он показывает, что один вид обычно вытесняет другой (Рис. 5.4.1).

Траектории, стартующие под устойчивым многообразием движутся к уменьшению и, в конечном счете, исчезновению популяции овец. В то время как траектории, стартующие выше устойчивого многообразия, движутся к вырождению популяции кроликов. Такое раздвоение области характерно и для других моделей конкуренции и называется в биологии принципом конкурентного исключения, который заключается в том, что два вида, конкурирующие в условиях ограниченных ресурсов, обычно не могут сосуществовать.

Этот пример служит иллюстрацией также некоторых математических фактов. Назовем бассейном аттрактора (например, точки ) множество точек фазовой плоскости таких, что всякая траектория, проходящая через любую точку этого множества, стремится к при . Например, бассейн аттрактора для устойчивого узла состоит из всех точек плоскости, лежащих ниже устойчивого многообразия седла .

Поскольку устойчивое многообразие разделяет бассейны двух узлов, оно называется границей бассейнов. Траектории, лежащие на границах бассейнов называются сепаратрисами. Бассейны и их границы важны, т.к. они разделяют фазовое пространство на области с различным поведением траекторий.