Консервативные системы

Второй закон Ньютона – источник многих важных систем второго порядка. Например, рассмотрим частицу массы , двигающуюся вдоль оси под действием нелинейной силы . Уравнение движения имеет вид

.

Отметим, что мы предполагаем не зависящей от и , поэтому рассматривается движение, не зависящее от времени, и без затухания.

Эти предположения позволяют утверждать, что система сохраняет энергию. Пусть – потенциальная энергия системы, определяемая уравнением . Тогда

. (1)

Умножим обе части уравнения на и запишем следующее соотношение

.

Тогда величина в квадратных скобках есть константа (и не зависит от времени), то есть

.

Но первое слагаемое есть кинетическая энергия, поэтому заключаем, что полная энергия системы

постоянна во времени. Системы такого типа называются консервативными.

Сформулируем строгие определения.

Непрерывно-дифференцируемая функция называется первым интегралом системы

,

в области , если постоянна на любом решении системы.

Можно показать, что в рассмотренном примере – первый интеграл исходной системы.

Если первый интеграл существует, то он не единственный, т.к. если – первый интеграл, то и , где – константа, также первые интегралы. Тривиальные первые интегралы, тождественно равные постоянной, мы рассматривать не будем.

В определении первого интеграла сказано, что есть константа. Тогда при уравнение определяет линии уровня первого интеграла. Рассмотрим какую-нибудь одну линию уровня

.

Пусть и пусть – траектория системы, проходящая через точку фазовой плоскости. Поскольку первый интеграл постоянен на траектории, то

.

Значит, траектория, проходящая через точку , лежит на линии уровня . Можно показать, что всякая линия уровня состоит из объединения непересекающихся траекторий.

Обычно первый интеграл получают однократным интегрированием дифференциального уравнения

, .

Если система имеет нетривиальный первый интеграл на всей плоскости (т.е. ), то она называется консервативной.

Пример 5.5.1

Показать, что система консервативна, а система неконсервативна.

Решение. Найдем первые интегралы систем, если это возможно. Для первой системы имеем

.

Первый интеграл можно записать как . Функция определена на всей плоскости, поэтому система консервативна.

Для второй системы имеем

, .

Тогда первый интеграл можно записать как , . Очевидно, что первый интеграл здесь не определен на всей плоскости и не существует никакого способа расширить его область определения. Система не консервативна.

Пример 5.5.2

Показать, что консервативная система не может иметь притягивающих неподвижных точек.

Решение. Пусть система консервативна и – притягивающая неподвижная точка. Тогда первый интеграл будет иметь в бассейне аттрактора одно и то же значение, т.к. непрерывна, принимает на всякой траектории постоянное значение, а все траектории «текут» в . Значит, в бассейне аттрактора – константа, но это противоречит нетривиальности на Какие же неподвижные точки могут встречаться в консервативных системах? Приведем еще один пример.

Пример 5.5.3

Рассмотрим частицу массы , двигающуюся в потенциале с двумя ямами . Найти неподвижные точки соответствующей системы и определить их тип.

Решение. Сила определяется как

,

поэтому уравнение движения имеет вид

.

Перепишем уравнение как систему

,

где определяет скорость частицу. Легко видеть, что здесь три неподвижных точки: , и . Находим матрицу Якоби

.

В точке . Здесь дискриминант , поэтому – седло. Две другие неподвижные точки – центры. Как известно, центр требует повышенного внимания, т.к. весьма чувствителен к нелинейным возмущениям. Но не в этом случае. Здесь первый интеграл имеет вид

и является константой на каждой траектории системы. Построение фазового портрета системы показывает, что типы неподвижных точек сохраняются.

Рис. 5.5.1

На Рис. 5.5.1 мы видим траектории, соответствующие разным значениям . Чтобы определить направление движения по траектории, мы вычисляем вектор в подходящей точке. Например, в точке этот вектор есть , поэтому стрелка направлена вниз; в точке вектор есть , поэтому стрелка направлена влево. Аналогично определяются направления на замкнутых траекториях возле неподвижных точек и . Наконец, на главных направлениях (сепаратрисах) движение точек осуществляется согласно ранее указанному правилу (к неподвижной точке на сепаратрисе, соответствующей меньшему , и от неподвижной точки в случае большего ).

Итак, траектории рассмотренной системы периодические, за исключением положений равновесия и двух особых траекторий, стартующих сколь угодно близко от и сколь угодно близко подходящих к . Траектория, стартующая «в неподвижной точке» и финиширующая в ней же, называется гомоклинической орбитой. Такие траектории обычны в консервативных системах, но исключительно редки в неконсервативных. Заметим также, что гомоклиническая орбита не соответствует периодическому решению.

Рассмотрим сейчас теорему о нелинейных центрах для систем 2-го порядка. Теорема утверждает, что центры наблюдаются в точках локальных минимумов первых интегралов. То есть нейтральная устойчивость при малых колебаниях наблюдается в глубине потенциальной ямы, вне зависимости от ее формы.

Теорема 5.5.1. Пусть задана система

,

и – непрерывно-дифференцируемая функция. Предположим, что существует нетривиальный первый интеграл и – изолированная неподвижная точка. Если точка локального минимума первого интеграла, то все траектории, достаточно близкие к , замкнуты.

Набросок доказательства. Поскольку константа на траекториях, каждая траектория лежит на некоторой контурной линии . Возле всякого локального минимума (максимума) контурные линии замкнуты. Легко понять, что на каждой контурной линии лежит только одна траектория, т.к. – изолированная неподвижная точка. Поэтому все траектории в достаточно малой окрестности неподвижной точки замкнуты.

Замечание 1. Эта теорема верна также и для локального максимума. В доказательстве достаточно лишь заменить на .

Замечание 2. Условие изолированности неподвижной точки не является необходимым. Контрпример рассматривается в упражнениях.