Упражнения к разделу 4

1. Рассмотреть модель гармонического осциллятора

.

Показать, что орбиты задаются эллипсами , где – некоторая неотрицательная константа.

2. Рассмотреть систему

,

где . Показать, что все траектории становятся «параллельными» оси при , и «параллельными» оси при .

3. Записать следующие системы в матричном виде:

(а) ; (b) ; (c) .

4. Сделать набросок векторного поля и нарисовать несколько типичных траекторий для систем:

(а) ; (b) .

5. Рассмотреть систему .

(а) Набросать векторное поле;

(b) Показать, что траектории системы являются гиперболами вида ;

(с) Неподвижная точка – седло. Найти уравнения устойчивого и неустойчивого многообразий;

(d) Система может быть решена с заменой переменных по формулам и . Решить систему относительно и для начальных условий ;

(e) Определить относительно и устойчивое и неустойчивое многообразия;

(f) Используя предыдущее записать общее решение для и .

6. В каждой из следующих систем исследовать неподвижную точку на устойчивость используя определения:

(а) ; (b) ; (с) ; (d) ;

(e) ; (f) .

7. Рассмотреть систему . Записать матрицу системы, найти собственные значения и собственные векторы, найти общее решение с действительным базисом.

8. Рассмотреть систему . Записать ее в матричной форме, найти собственные значения и собственные векторы, найти общее решение, определить тип неподвижной точки и решить задачу Коши с начальными условиями .

9. Нарисовать фазовые портреты и определить тип неподвижных точек для следующих систем:

(а) ; (б) ; (в) ;

(г) ; (д) ; (е) ;

(ж) ; (з) .

10. Показать, что матрица , где , имеет только один собственный вектор. Решить систему и нарисовать фазовый портрет.

11. Рассмотреть уравнение электрической цепи , где , и .

(а) Переписать уравнение в виде системы;

(б) Показать, что начало координат асимптотически устойчивая неподвижная точка при и нейтрально устойчива при ;

(в) Определить тип неподвижной точки в зависимости от значения и сделать наброски фазовых портретов для всех случаев.

12. Уравнение гармонического осциллятора с затуханием имеет вид

,

где .

(а) Переписать уравнение в виде системы;

(б) Определить тип неподвижной точки в начале координат;

(в) Исследовать изменение фазового портрета в зависимости от изменения параметров.