Равномерные колебания

Точка на окружности называется также углом или фазой. Простейшие колебания задаются уравнением, где фаза изменяется равномерно, например таким ( - константа). Решением этого уравнения является семейство (зависящее от ) функций

,

которое соответствует равномерному движению точки на окружности с угловой частотой . Это решение периодическое в том смысле, что частица возвращается в ту же точку на окружности, если угол изменился на , за время

.

Мы будем называть это число периодом колебаний. Заметим, что мы ничего не говорим об амплитуде колебаний. На самом деле, здесь имеется только одна фазовая переменная. Если рассматривать еще и амплитудную переменную, то придется перейти с окружности на плоскость, т.е. получить двумерный фазовый портрет. Эта ситуация более сложна и будет рассмотрена во второй части пособия.

Пример 3.3

Два спортсмена, Вася Петечкин и Петя Васечкин, движутся равномерным шагом по окружности. Время полного обхода окружности у Васи - сек, а у Пети - сек. Известно, что , поэтому Вася будет периодически догонять Петю. Сколько времени потребуется Васе, чтобы догнать Петю, если они стартуют одновременно из одной точки?

Решение. Пусть задает позицию Васи на треке. Тогда , где . Аналогично для Пети. Условие, при котором Вася догоняет Петю, состоит в том, что угол между ними будет равен . Тогда получаем

.

Это и есть искомое время.