Светляки

Жуки–светляки демонстрируют один из самых замечательных примеров синхронных явлений в природе. В некоторых частях Юго-Восточной Азии тысячи светляков–самцов собираются на деревьях ночью и в унисон зажигают и гасят свои фонарики. Тем временем, самки светляков кружат сверху, высматривая ближайших самцов.

Как происходит эта синхронизация? Конечно, светляки не собираются это делать в унисон; они прилетают на деревья в сумерках и начинают строить свое представление с наступлением ночи. Когда один жук «зажигается», то соседний либо замедляет скорость переключений – либо увеличивает ее, чтобы достичь одновременности «включений–выключений» со своим соседом.

В конце 70-х годов прошлого века это явление экспериментально изучалось Хансоном (Hanson), который включал и выключал свет периодически, а жук–светляк пытался синхронизироваться с этими вспыхиваниями. Для периода вспыхиваний жука характерна величина сек, но жук может изменять частоту миганий под влиянием стимулятора (например, фонарика). В этом случае говорят, что жук привлечен стимулятором. Однако, если стимулятор слишком быстр, или слишком медленен, жук не может с ним синхронно вспыхивать. Разница в фазе колебаний жука и стимулятора не может возрастать равномерно. Вначале жук стремится синхронизировать колебания, но если это не получается и разность в фазе становится равной разности с предшествующей фазой, то жук начинает замедлять свои мигания, чтобы синхронизироваться уже со следующей фазой. Это явление получило название фазового дрейфа.

Ermentroum и Rinzel в 1984 году предложили простую модель светлячковых миганий, реагирующих на стимулятор. Предположим, что – фаза колебаний светляка, причем соответствует моменту излучения света. Предположим также, что в отсутствие стимулятора жук вспыхивает с частотой , согласно уравнению

.

Пусть теперь имеется периодический стимулятор, фаза которого удовлетворяет уравнению

, (1)

где соответствует вспышке стимулятора. Мы моделируем отклик жука на стимулятор следующим образом: если стимулятор идет впереди цикла жука, то предполагается, что жук ускоряет мигания. Соответственно, если стимулятор идет сзади, то жук замедляется. Простейшая модель, объединяющая эти предположения, имеет вид

, (2)

где . Например, если (стимулятор впереди жука), то жук ускоряется (второе слагаемое в (2) положительно). Коэффициент «перезагрузки» измеряет способность светляка мгновенно модифицировать частоту.

Рассмотрим динамику фазовой разности . Вычтем уравнение (2) из (1) и получим уравнение

, (3)

которое задает неравномерные колебания для . Уравнение (3) может быть обезразмерено с помощью подстановок

, . (4)

В результате мы приходим к уравнению

, (5)

где .

Безразмерный коэффициент является показателем разности частот относительно коэффициента перезагрузки . Когда мало частоты относительно близки, и мы надеемся, что согласование миганий возможно. Это подтверждается рисунками, где представлены графики векторных полей уравнения (5) при различных неотрицательных значениях (случай – аналогичен).

Рис. 3.6.1 Рис. 3.6.2 Рис. 3.6.3

Когда , все траектории собираются к неподвижной точке (Рис. 3.6.1). Здесь разница частот равна нулю и жук со стимулятором мигают одновременно. Если , то кривая немного приподнимается, при этом неподвижные точки приближаются друг к другу. Все траектории собираются к устойчивой неподвижной точке, но сейчас . Поскольку фазовая разность равна ненулевой константе, то ритм мигания жука и стимулятора находятся в состоянии фазового замк а. Это означает, что жук и стимулятор мигают с одинаковой частотой, хотя и не в унисон. Результат показывает, что стимулятор мигает несколько раньше. Светляк отстает с постоянной фазой.

Если мы продолжим увеличивать , устойчивая и неустойчивая неподвижные точки продолжают сближаться и, в конечном счете, соединяются в одну (бифуркация седло-узел) при . При неподвижные точки исчезают и теперь блокировка фазы потеряна. Разница между частотами возрастает и возникает фазовый дрейф. Разумеется, как только разность достигнет , жук и стимулятор вновь в фазе.

В соответствии с экспериментами Хансона (1978 г.) разность увеличивается наиболее медленно, когда проходит под минимумом волны синуса в , и наиболее быстро, когда проходит под максимумом при .

Процесс стимуляции становится возможным только в пределах симметричного интервала ведущих частот

.

Этот интервал называется диапазоном стимулирования.

Рис.3.6.4

Модель позволяет прогнозировать фазовую разность в течение диапазона стимулирования, а именно

, (6)

где соответствует устойчивой неподвижной точке. Период дрейфа фазы также может быть найден следующим образом. Время, необходимое для поворота на задается формулой

.

Согласно формуле , мы получаем для периода дрейфа выражение

. (7)