Решение комбинаторных задач (размещения без повторений, размещения с повторениями, сочетания без повторений, сочетания с повторениями

1. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, …, 9 при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

Решение: Так как число кратно 5, то последней цифрой искомого числа должна быть 5. Поскольку все цифры в записи искомого числа различны, на первые пять мест можно поместить только какие – то из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Количество искомых чисел равно числу размещений из 8 по 5, т.е.

2. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, …,9 (каждую цифру можно использовать несколько раз).

Решение: Число кратно 5, когда его последняя цифра 0 или 5. В нашем случае кратными 5 будут только числа, оканчивающиеся на 5. При этом каждая из первых пяти цифр может принимать любое из значений 1,2, …, 9. Таким образом, количество чисел равно количеству всех размещений с повторениями из множества по 5 местам равно )

3. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 ладей?

Решение: Для решения этой задачи надо выбрать из 64 клеток шахматной доски любые 8 клеток, а это можно сделать способами.

4. Сколько будет костей домино, если использовать в их образовании все цифры?

Решение: Число костей можно рассматривать как число сочетаний с повторениями по 2 из 10. Число таких сочетаний равно: .

Задания для аудиторной работы

1. В шахматном турнире участвуют 7 студентов и 5 школьников. Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире школьниками, если никакие два участника не набрали одинакового количества очков?

2. В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных уроков?

3. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

4. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из четырех человек для участия в эстафете на 100, 200, 400, 800 метров. Сколькими способами это можно сделать?

5. Монету бросают 10 раз. Сколько различных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

6. замок камеры хранения имеет четыре диска, каждый из которых разделен на 10 секторов; на секторах каждого из дисков написаны цифры 0, 1, 2, …, 9. Сколько способов у человека открыть камеру, если: а) он забыл номер; б) если он помнил цифру, набранную на первом диске; в) если он помнил только, что ни на втором, ни на третьем, ни на четвертом диске он не набирал цифры 6?

7. Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в классе, в котором учатся 30 человек?

8. Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7 различных?

9. У одного школьника 6 фантастических книг, а у другого – 8 детективов. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

10. В букете 5 красных, 3 розовых и 1 жёлтая роза. Сколькими способами можно выбрать из этого букета 3 розы?

11. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

12. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд, состоящий из офицера, 2 сержантов и 60 рядовых?

13. У Васи 40 соседей. Он решил пригласить двоих их них на обед. Сколько у него способов это сделать?

14. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров так, чтобы из них было 3 черных и 2 белых.

15. В кондитерском магазине продаются 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

16. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?

17. 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?

18. В книжном магазине имеются книги шести различных писателей. Сколькими способами можно купить 12 книг?

19. Тётя Полли купила килограмм яблок, килограмм груш и килограмм апельсинов. Сколькими способами она может Тому Сойеру 5 фруктов?