Вероятность противоположного события. Формула полной вероятности. Формула Байеса

1. В группе 40 студентов. 20 студентов активно занимаются рукопашным боем, 15 – лыжным спортом и 5 – стрельбой. Найти вероятность того, что наугад выбранный студент не занимается стрельбой.

Решение: Пусть событие А ={выбранный студент не занимается стрельбой}, тогда противоположное ему событие ={выбранный студент занимается стрельбой}. Вероятность . Следовательно, вероятность события А будет равна .

Ответ:

2. Прибор может работать в нормальном и аварийном режиме. Нормальный режим наблюдается в 90% всех случаев, аварийный – в 10%. Вероятность выхода прибора из строя за некоторое время в нормальном режиме равна 0,1, в аварийном – 0,8. Найдите вероятность выхода прибора из строя за время .

Решение: Пусть событие А ={Выход прибора из строя}. Это событие может наступить только при появлении одного из двух событий: ={Прибор работает в нормальном состоянии}, ={Прибор работает в аварийном состоянии}. Эти два события несовместны и образуют полную группу событий, поэтому можно применить формулу полной вероятности: .

Найдем необходимые для формулы множители: , , , . Тогда .

Ответ: 0,17.

3. Прибор может собираться из отечественных или импортных деталей, при этом около 40% приборов собирается из импортных деталей. Если прибор собран из отечественных деталей, то вероятность его безотказной работы за время равна 0,7, а если из импортных – 0,95. Прибор испытывался в течение времени и работал безотказно. Найдите вероятность того, что он собран из импортных деталей.

Решение: Событием А обозначим то событие, которое произошло, т.е. А ={Прибор работал безотказно}. При этом возможны следующие гипотезы: ={Прибор собран из отечественных деталей}, ={Прибор собран из импортных деталей}. Тогда искомая вероятность находится по формуле Бейеса.

.

Найдем необходимые составляющие и подставим их в формулу: , , , .

Тогда .

Заметим, что до испытания вероятность гипотезы равнялась 0,4, а после эксперимента, вероятность этой гипотезы стала равной 0,475. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

Задания для аудиторной работы

1. Имеется два одинаковых ящика. В первом ящике 10 белых и 12 черных шара; во втором – 8 белых и 14 черных шаров. Наугад берут один шар. Найдите вероятность того, что этот шар черный.

2. Группа студентов состоит из 3 отличников, 8 хорошо успевающих и 9 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

3. Электролампы изготавливают на трех заводах. 1-й завод производит 35% общего количества электроламп, 2-й –50%, 3-й–15%. Продукция 1-го завода содержит 70% стандартных ламп, 2-го –80%, 3-го –90%. В магазин поступает продукция всех трез заводов. Какова вероятность того, что купленная лампа является стандартной.

4. В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела –0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

5. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по шоссе как 3:2. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и 2 из 45 легковых автомашин подъезжают к бензоколонке для заправки. Чему равна вероятность того, что подъехавшая к бензоколонке машина будет заправляться?

6. Имеются 3 ящика: в первом 5 белых и 10 черных шаров, во втором 6 белых и 4 черных шаров, в третьем 7 белых и 8 черных. Некто выбирает один из ящиков и вынимает из него шар. Этот шар оказывается черным. Найти вероятность того, что этот шар вынут из третьего ящика

7. Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает дефект с вероятностью , второй – с вероятностью . Если в цехе изделие не забраковано, оно поступает в отдел контроля, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью . Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что оно забраковано первым контролером.

8. Производится один выстрел по мишени, на которой расположены две цели: I и II. Вероятность попадания в цель I равна , в цель II равна . после выстрела получено известие, что попадания в цель I не произошло. Какова теперь вероятность того, что произошло попадание в цель II?

9. На двух автоматах производятся одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата втрое больше производительности второго. 1-й автомат в среднем производит 80% деталей 1-го сорта, а 2-й –90%. Взятая наудачу с конвейера деталь оказалась 1-го сорта. Найти вероятность того, что она производится 1-м автоматом.

10. В пирамиде 10 винтовок, 4 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела –0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без?