Практическое занятие 2.1

Решение комбинаторных задач (правило суммы, произведения, перестановки без повторений, перестановки с повторениями)

1. В магазине «Посуда» продают 7 разных видов чашек и 15 различных видов блюдец. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Решение. Выберем сначала чашку. В пару ей можно выбрать любое из 15 блюдец. Таким образом, получаем 15 разных пар, содержащих эту чашку. Так как всего 7 чашек, то число различных пар равно 15∙7 = 105.

Ответ: 105 способов.

2. Сколькими способами можно выбрать одну четную или одну нечетную цифру из числа 123456?

Решение. В числе 123456 три четные цифры и три нечетные цифры. Четные цифры можно выбрать 3 способами, нечетные – тоже 3 способами. Четную или нечетную цифру: 3+3=6 способами.

Ответ: 6 способов.

3. Сколько различных ожерелий можно сделать из 11 различных бусин?

Решение: Если бы ожерелье нельзя было бы переворачивать и поворачивать, то мы получили бы различных способов сделать его. Но, так как ожерелье можно поворачивать, то положение бусин относительно окружающих предметов не важно, а важно лишь их взаимное расположение. Поэтому перестановки бусин, переходящие друг в друга при повороте ожерелья, надо считать одинаковыми. У нас 11 бусин, значит 11! надо разделить на 11, получим способов. Но ожерелье можно не только повернуть, но и перевернуть. Перевороты сокращают количество вариантов в 2 раза. В итоге получим способов.

Ответ: способов.

4. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зелёные и 4 красные лампочки?

Решение: Всего 2 + 4 = 6 лампочек, из них 2 – одного типа, и 4 – другого типа. Получаем:

способов.

Ответ: 15 способов.

5.Упростить следующие выражения:

1) 2) ; 3) .

Решение:

1) ;

2) ;

3)

Задания для аудиторной работы

1. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную букву из слова «БУКВА»?

2. Код замка содержит 3 цифры – первую четную, вторую – нечетную, и третью – от 0 до 5. Сколькими способами можно подобрать код при его утере?

3. В некоторой стране есть 3 города: А, В и С. Из города а в грод В ведет 6 дорог, из города В в город С – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С?

4. В киоске «Союзпечать» продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

5. На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это можно сделать?

6. В киоске продают 5 разных наборов карандашей, 7 видов ручек и 3 вида маркеров. Сколькими способами можно купить 2 предмета?

7. На доске написаны 3 существительных, 5 прилагательных и 4 глагола. Для составления предложения можно выбрать либо существительное или глагол, либо все три части речи. Сколькими способами можно составить предложение?

8. В некоторой стране есть 3 города: А, В, С и D. Из города А в город В ведет 6 дорог, из города В в город С – 4 дороги, из А в D – 2 дороги, из D в С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С?

9. У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?

10. У коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Они могут обменять либо марку на значок, либо значок на марку. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить такой обмен?

11. В каждом ряду кинотеатра 32 места. Класс, состоящий из 32 человек, нужно рассадить на один ряд. Сколькими способами можно это сделать?

12. На книжной полке стоит 5 книг. Сколько существует различных расстановок этих книг на полке?

13. Сколько различных слов можно составить из слова «БУКВА»?

14. На полке стоят 4 книги. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги).

15. Сколько различных слов можно составить из слова «ИНСТИТУТ»?

16. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зелёные и 4 красные лампочки?

17. На полке лежат 4 одинаковых яблока и 5 одинаковых груш. Сколькими способами их можно положить в ряд?

18. Сколькими способами можно расставить белые фигуры: 2 коня, 2 слона, 2 ладьи, 1 ферзя и 1 короля на первой линии шахматной доски (без учёта правил игры)?

19. Сколько слов можно составить из 5 одинаковых букв «А» и не более чем из 3 букв «Б» (в слове должно быть ровно 5 букв «А» и может быть 1 буква «Б», 2 буквы «Б», 3 буквы «Б» или не быть буквы «Б» вообще).