Билет 22

43. Содержательная интерпретация коэффициентов регрессии множественной линейной регрессии. Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Y_i = α₀ + α₁ x_{i 1} + α₂ x_{i 2} +... + α _mx_im + ε _i (4.1)

Коэффициент регрессии α _j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную x_j увеличить на единицу измерения, т.е. α _j является нормативным коэффициентом. Обычно предполагается, что случайная величина ε _i имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным нулю и с дисперсией σ².

Анализ уравнения (4.1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи уравнения (4.2):

Y = X α + ε

Таким образом,

Уравнение (4.1) содержит значения неизвестных параметров α₀, α₁, α₂,..., α _m. Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид:

, (4.3)

Формулу для вычисления параметров регрессионного уравнения приведем без вывода:

а = (Х ^Т Х)^-1 X ^T Y. (4.4)

Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих переменных, т.е., решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для экономических показателей это условие выполняется не всегда. Линейная или близкая к ней связь между факторами называется мультиколлинеарностью и приводит к линейной зависимости нормальных уравнений, что делает вычисление параметров либо невозможным, либо затрудняет содержательную интерпретацию параметров модели. Мультиколлинеарность может возникать в силу разных причин. Например, несколько независимых переменных могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые колебания. В частности, так может случиться, когда значения одной независимой переменной являются датированными значениями другой. Считают явление мультиколлинеарности в и сходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0,8. Чтобы избавиться от мультиколлинеарности, в модель включают лишь один из линейно связанных между собой факторов, причем тот, который в большей степени связан с зависимой переменной.

В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

r_yxi > r_xixk, r_yxk > r_xixk, r_xixk < 0,8.

Если приведенные неравенства (или хотя бы одно из них) не выполняются, то в модель включают тот фактор, который наиболее тесно связан с Y.

Анализ статистической значимости параметров модели. Значимость отдельных коэффициентов регрессии проверяется по t -статистике путем проверки гипотезы о равенстве нулю j -го параметра уравнения (кроме свободного члена):

T_aj = a_j / S_aj, (4.5)

где S_aj — стандартное (среднеквадратическое) отклонение коэффициента уравнения регрессии a_j.

Величина S_aj представляет собой квадратный корень из произведения несмещенной оценки дисперсии и j -го диагонального элемента матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений.

(4.6)

где b_jj — диагональный элемент матрицы (Х ^Т Х)^-1.

Если расчетное значение t -критерия с (n - k -1) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Проверка значимости модели регрессии. Для проверки значимости модели регрессии используется F -критерий Фишера, вычисляемый по формуле (3.14).