Непрерывные распределения

В основе этого класса распределений всегда лежит непрерывная случайная величина :

Нормальное распределение (распределение Гаусса) - . Случайную величину с плотностью распределения:

,

называют нормально распределенной с параметрами .

Отметим следующие особенности графического изображения плотности вероятностей нормальной случайной величины:

значения распределяются симметрично, влево и вправо от экстремальной параметрической оценки , т.е. ;

функция является строго монотонно возрастающей на интервале и строго убывающей на интервале ;

функция имеет две точки перегиба - .

Количественные характеристики плотности вероятностей нормального распределения табулированы. В связи с этим отметим, что график нормального распределения не имеет каких-либо закрытых областей, т.е. для него не существует некоторой определенной интегральной функции . Тем не менее, представляется возможным произвести количественную оценку площади графика, находящегося под кривой функции . Именно это позволяет строить таблицы для значений и быстро находить в них интересующие исследователя величины.

t-распределение (распределение Стьюдента). Случайная величина с плотностью вероятностей

,

имеет t-распределение с параметрическим числом степеней свободы.

F-распределение Фишера. Имеет два параметрических числа степеней свободы и , используется для случайной величины с плотностью вероятностей:

, ,

где - целые числа и .

При и и плотность вероятностей Фишера переходит в t-плотность Стьюдента.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

Статистическая гипотеза обычно представляет собой некоторое предположение об одном или нескольких параметрах функции распределения случайной величины.

В теории статистического вывода обычно проверяются гипотезы на основе выборочной информации. В практике статистической работы чаще всего имеют дело с двумя конкурирующими гипотезами: нулевой гипотезой, обозначаемой H₀; и альтернативной гипотезой, обозначаемой H₁. Нулевая гипотеза используется при статистической проверке гипотез об отсутствии существующих различий между несколькими выборочными совокупностями, для суждения о близости фактического распределения к теоретическому (нормальному), об отсутствии зависимости между признаками. Суть нулевой гипотезы состоит в признании того, что выборки взяты из одной совокупности, фактическое распределение укладывается в теоретическое, зависимость между признаками отсутствует и т. д. Следовательно, нулевая гипотеза - это гипотеза, подлежащая проверке. И если отвергается нулевая гипотеза как неподходящая в каком-то статистическом смысле, то принимается альтернативная гипотеза.

Так как мы имеем дело с неизвестной генеральной совокупностью и выносим суждения о ней на основе выборочной информации, то мы можем и не прийти к правильному выводу. Мы сделаем неправильный вывод, если отвергнем нулевую гипотезу, когда она справедлива (ошибка I рода), или примем нулевую гипотезу, когда она ошибочна (ошибка II рода).

В большинстве случаев при проведении проверки гипотез в экономике задается некоторый допустимый уровень вероятности совершения ошибки I рода () и осуществляется проверка на основе выборочной информации. В классическом статистическом выводе существует два общих правила для определения величины :

1) чем больше степень уверенности в нулевой гипотезе, тем меньше должно быть значение .

2) чем больше цена отбрасывания справедливой нулевой гипотезы, тем меньше значение должно иметь .

Сформулируем общий алгоритм проверки статистических гипотез. Процедуру проверки можно описать следующими шагами:

1. Формулирование нулевой и альтернативной гипотез.

2. Выбор уровня значимости.

3. Выбор теста.

4. Определение критической области.

5. Выполнение необходимых вычислений.

6. Принятие статистического решения.

Уровень значимости - это такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существующего расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки.

Допустим, рассчитанное по эмпирическим данным значение критерия попало в критическую область. Тогда при условии верности проверяемой гипотезы H₀ вероятность этого события будет не больше уровня значимости . Поскольку выбирается достаточно малым, то такое событие является маловероятным, и, следовательно, проверяемая гипотеза может быть отвергнута. Если же наблюдаемое значение характеристики не принадлежит к критической области, и, следовательно, находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза H₀ не отвергается. Вероятность попадания критерия в область допустимых значений при справедливости проверяемой гипотезы H₀ равна . Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность забраковать проверяемую гипотезу, когда она верна, то есть меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Но при этом расширяется область допустимых значений и, значит, увеличивается вероятность совершения ошибки II рода.

Если альтернативная гипотеза , то гипотеза называется двухсторонней. Если гипотеза имеет вид и , то такую гипотезу называют односторонней. При проверке двухсторонней гипотезы с уровнем значимости критическое значение будет определено с уровнем значимости /2 и с соответствующим числом степеней свободы. При проверке односторонней гипотезы критическое значение будет определено с соответствующим числом степеней свободы и уровнем значимости .