Матрица коэффициентов (3)

Уравнение	Переменные
х 3	х4
	а23			а24

Из таблицы видно, что достаточное условие идентификации не выполняется. Уравнение неидентифицируемо. Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель, идентифицируе­мая по счетному правилу, не может считаться идентифицируемой исходя из достаточного условия идентификации.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, па­раметры которых должны быть статистически оценены, использу­ются балансовые тождества переменных, коэффициенты при ко­торых равны ±1. В этом случае хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при перемен­ных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собст­венно структурных уравнений системы тождества участвуют.

Например, рассмотрим эконометрическую модель экономи­ки страны: _г

где у₁ — расходы на конечное потребление данного года;

А — свободный член уравнения;

— случайные ошибки;

у₂ — валовые инвестиции в текущем году;

х₁ — валовой доход предыдущего года;

y_з— расходы на заработную плату в текущем году;

у₄ — валовой доход за текущий год;

х₂— государственные расходы текущего года.

В этой модели четыре эндогенные переменные у_1, у₂, у₃, y₄, причем переменная у ₄ задана тождеством. Поэтому статистичес­кое решение практически необходимо только для первых трех уравнений системы, которые нужно проверить на идентифика­цию. Модель содержит две предопределенные переменные – эк­зогенную х₂ и лаговую х₁.

При практическом решении задачи на основе статистической информации за ряд лет или по совокупности регионов за один год в уравнениях для эндогенных переменных у₁ у₂, y₃ обычно содержится свободный член А₀₁, А₀₂, А₀₃, значение которого акку­мулирует влияние неучтенных в уравнении факторов и не влияет на определение идентифицируемости модели.

Поскольку фактические данные об эндогенных переменных у₁, у₂, y₃ могут отличаться от теоретических, постулируемых мо­делью, принято в модель включать случайную составляющую для каждого уравнения системы, исключив тождества. Случайные составляющие (возмущения) обозначены через ₁ , ₂ и ₃,. Они не влияют на решение вопроса об идентификации модели.

В рассматриваемой эконометрической модели первое уравне­ние системы точно идентифицируемо, ибо H = 3 и D = 2, и вы­полняется необходимое условие идентификации (D + 1 = Н). Кроме того, выполняется и достаточное условие идентификации, т. е. ранг матрицы равен 3, а определитель ее не равен 0: |A| =-a₃₁, что видно из следующей таблицы:

Уравнение	y2	x1	x2
	–1	а 21
		– а 31

Второе уравнение системы так же точно идентифицируемо: Н = 2 и D = 1, т. е. счетное правило выполнено: D + 1 = Н, вы­полнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и |A| = -b₃₄.

Уравнение	y1	y4	x2
	– 1	b14
		b34
		– 1

Третье уравнение системы также идентифицируемо: Н = 2, D=1,D+ 1 = Н; |A| ≠ 0, а ранг матрицы А = 3 и |A| = 1.

Уравнение	y 1	y2	x2
	– 1
		– 1

Идентификация уравнений достаточно сложна и не ограни­чивается только вышеизложенным. На структурные коэффици­енты модели могут накладываться и другие ограничения, напри­мер, в производственной функции сумма эластичностей может быть равна по предположению 1. Могут накладываться ограниче­ния на дисперсии и ковариации остаточных величин.

3. Оценивание параметров структурной модели

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены раз­ными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

• двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);

• трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК);

• метод максимального правдоподобия с полной информа­цией (ММП _f);

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММП₅).

Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традици­онные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легкореализуемы. Косвенный метод наи­меньших квадратов применяется для идентифицируемой систе­мы одновременных уравнений, а двухшаговый метод наимень­ших квадратов — для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Перечисленные методы оценивания также используются для сверхидентифицируемых систем уравнений.

Приведем здесь косвенный метод наименьших квадратов. Косвенный метод наименьших квадра­тов используется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы:

• структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

• для каждого уравнения приведенной формы модели обыч­ным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (d _ij);

• коэффициенты приведенной формы модели трансформиру­ются в параметры структурной модели.

Рассмотрим применение КМНК для простейшей идентифи­цируемой эконометрической модели с двумя эндогенными и дву­мя экзогенными переменными:

Пример. Пусть для построения данной модели мы распола­гаем некоторой информацией по пяти регионам (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Условные данные по пяти регионам

Регион	у 1	у 2	х 1	х 2
Средние		6,2	2,4	3,4

При практических расчетах требуется, конечно, значительно больший объем информации, включающий достаточно большое число регионов.

Приведенная форма модели составит:

где и ₁, и ₂ – случайные ошибки приведенной формы модели.

Для каждого уравнения приведенной формы модели приме­няем традиционный МНК и определяем d-коэффициенты.

Чтобы упростить процедуру расчетов, можно работать с отклонениями от средних уровней, т. е. у = у – и х = х – . Тогда для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:

Применительно к рассматриваемому примеру, используя от­клонения от средних уровней, имеем:

Решив данную систему, получим следующее первое уравне­ние приведенной формы модели:

у ₁ = 0,852 х ₁ + 0,373 х ₂ + и ₁.

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приве­денной формы модели и получаем:

у₂ = d₂₁х₁ + d₂₂х₂ + и₂.

Система нормальных уравнений составит:

В соответствии с нашим примером имеем:

Откуда второе приведенное уравнение составит:

у₂ = – 0,0728 х ₁ – 0,00557 х ₂ + и ₂.

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

Переходим от приведенной к структурной форме модели, т. е. к системе уравнений

Для этой цели из первого уравнения приведенной формы мо­дели надо исключить х₂, выразив его из второго уравнения приве­денной формы и подставив в первое:

Тогда:

– первое уравнение структурной мо­дели.

Для того чтобы найти второе уравнение структурной модели, обратимся вновь к приведенной форме модели. С этой целью из второго уравнения приведенной формы модели следует исклю­чить х₁, выразив его через первое уравнение и подставив во второе:

Итак, структурная форма модели имеет вид:

Оценка значимости модели дается через F -критерий и R² для каждого уравнения в отдельности. В рассматриваемом примере хороших результатов достичь не удалось: ввиду малого числа наблюдений значения F -критерия Фишера несущественны (при уровне значимости 0,05 F -табличное значение равно 19, а фактическое F = 7 для первого уравнения).

Контрольные вопросы:

1. Какие системы уравнений используются в эконометрике?

2. Какие переменные в системе одновременных уравнений называют экзогенными, а какие – эндогенными?

3. Какой вид имеет структурная форма модели?

4. Какой вид приведенной формы модели?

5. Как связаны между собой структурная и приведенная формы моделей?

6. В чем состоят проблемы идентификации модели?

7. Какие модели называют идентифицируемыми, неидентифицируемыми, сверхидентифицируемыми?

8. Каковы необходимые и достаточные условия идентификации?

9. В чем суть косвенного метода наименьших квадратов?

Используемая литература

1. Кремер, Н.Ш. Эконометрика: учебник / Н.Ш. Кремер, Б. А. Путко. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.

2. Елисеева, И.И. Эконометрика: учеб. пособие / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2007.

3. Елисеева, И.И. Практикум по эконометрике / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2007.

4. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс / Я.Р. Магнус,П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. – М.: Дело, 2000.

5. Бородич, С.А. Эконометрика /С.А. Бородич.– Минск: Новое знание, 2004.

6. Красс, М.С. Математика для экономистов: учеб. пособие. / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. СПб.: Питер, 2009.

7. Мхитарян, В.С. Эконометрика: учебник / В.С. Мхитарян, М.Ю. Архипова, В.А. Балаш и др. – М.: Проспект, 2009.

8. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник / С. А. Айвазян, В.С. Мхитарян. – М.: ЮНИТИ, 2002.

Конспекты лекций

по дисциплине

«Эконометрика»

Автор

Цвиль Мария Михайловна

Издано в авторской редакции