Структурная и приведенная формы моделей

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений вида:

(9.1)

Система взаимозависимых уравнений (9.1) получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели.

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные обозначаются в системе одновременных уравнений как y. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные обозначаются обычно как x. Это предопределённые переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма модели (9.1) имеет вид:

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, в других – как экзогенные переменные.

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты b_i и a_j (b_i – коэффициент при эндогенной переменной, a_j - коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурные коэффициенты модели.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели даёт, как принято считать в теории, смещённые и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

где – коэффициенты приведенной формы модели.

По виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным методом наименьших квадратов. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели (a_j и b_i).

Для упрощения в модель не введены случайные переменные.

Для структурной модели вида:

(9.2)

Приведенная форма модели имеет вид:

(9.3)

в которой из первого уравнения структурной модели можно выразить следующим образом:

Тогда система одновременных уравнений будет приведена как

Отсюда имеем равенство:

или

Тогда: +

Или

Т.о., мы представили первое уравнение структурной формы модели в виде уравнения приведенной формы модели:

Из уравнения следует, что коэффициенты приведенной модели представляют собой нелинейные соотношения коэффициентов структурной формы модели, т.е.

и

Аналогично можно показать, что коэффициенты приведенной формы модели второго уравнения системы () также нелинейно связаны с коэффициентами структурной модели. Для этого выразим переменную из второго структурного уравнения модели как

Запишем это выражение в левой части первого уравнения структурной формы модели 1):

Отсюда:

что соответствует уравнению приведенной формы модели:

т.е. и

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Например, Т. Хаавелмо в 1947 г., исследуя линейную зависимость потребления (с) от дохода (у), предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид:

Где a и b – параметры линейной зависимости с от у;

х – инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта.

Оценки параметров должны учитывать тождество дохода в отличие от параметров обычной линейной регрессии.

В этой модели две эндогенные переменные – с и у и одна экзогенная переменная х. система приведенных уравнений составит:

Она позволяет получить значения эндогенной переменной с через переменную х. рассчитав коэффициенты приведенной формы модели (А₀, А₁, В₀, В₁), можно перейти к коэффициентам структурной модели а и b, подставив в первое уравнение приведенной формы выражение переменной х из второго уравнения приведенной формы модели. Приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, аналитически уступает структурной форме модели, т.к. в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.