Множественная линейная корреляционная зависимость

Рассмотрим отбор факторов для построения множественной линейной зависимости, когда переменные являются случайными величинами (обычно предполагается, что их совместное распределение нормальное).

Наиболее простой формой зависимости, достаточно строго обоснованной для случая совместного нормального распределения, является линейная зависимость, т.е. зависимость вида

(4.1)

Такая зависимость во многих случаях довольно хорошо отражает сложившиеся экономические взаимосвязи. Исходная информация для построения зависимости (4.1) обычно задается в виде некоторой таблицы.

№	Факторы, для которых получены данные
x1	x2	x3	…	xk	y
	x11	x21	x31	…	xk1	y1
	x12	x22	x32	…	xk2	y2
	x13	x23	x33	…	xk3	y3
…	…	…	…	…	…	…
n	x1n	xn	x3n		xkn	yn

Следует определить, все ли переменные следует включать в уравнение (4.1) или есть переменные, которые существенно не влияют на величину y и их нецелесообразно включать в (4.1). В первом случае p=k, втором p<k.

Корреляционная связь может существовать как между двумя факторами (интеркорреляция), так и между несколькими факторами (мультиколлинеарность). Существование корреляционной связи между факторами может быть выявлено с помощью показателей корреляции между ними, в частности, с помощью парных коэффициентов корреляции, которые рассчитываются по формулам:

.

Составим таблицу из коэффициентов парной корреляции для всех факторов. Таблица имеет вид

	y	x1	x2	x3	…	xk
y	1				…
x1		1			…
x2			1		…
x3				1	…
…	…	…	…	…	1	…
xk				…	…	1

В клетках таблицы записаны парные коэффициенты корреляции, например, r₃₁ – парный коэффициент корреляции между переменными х ₃ и х ₁ и др. Коэффициенты r_ij и r_ji, а также r_xiy и r_yxi совпадают, так как теснота связи между переменными y и х_i такая же, как между х_i и у, аналогично, для х_i и х_j. Поэтому таблицу записывают в упрощенной симметричной форме (треугольная форма).

	y	x1	x2	x3	…	xk
y	1				…
x1	-	1			…
x2	-	-	1		…
x3	-	-	-	1	…
…	…	…	…	…	1	…
xk	-	-	-	…	…	1

По данным такой таблицы можно примерно оценить, какие факторы существенно влияют на переменную у, а какие – несущественно, а также выявить взаимосвязь между факторами.

Наличие мультиколлинеарности можно подтвердить, найдя определитель матрицы:

.

Если связь между факторами полностью отсутствует, то недиагональные элементы будут равны нулю, а определитель .

Если связь между факторами близка к функциональной, то близок к нулю.

Пример 1.

Пусть получена таблица

	y	x1	x2	x3
y		0,6	0,5	0,7
x1	-		0,04	0,03
x2	-	-		0,1
x3	-	-	-

На основании указанных в таблице парных коэффициентов корреляции можно сделать вывод, что связь факторов x₁,x₂,x₃ с фактором y существенная (коэффициенты корреляции, соответственно, 0,6; 0,5; 0,7). Теснота связи между факторами x₁,x₂,x₃ незначительная (коэффициенты корреляции 0,04; 0,03; 0,1) и .

Такая информация наиболее благоприятна для построения уравнения (4.1).

Пример 2.

Рассмотрим следующую таблицу.

	y	x1	x2	x3	x4
y		0,65	0,6	0,5	0,03
x1	-		0,5	0,9	0,3
x2	-	-		0,3	0,2
x3	-	-	-		0,2
x4	-	-	-	-

Согласно таблице, величина коэффициента парной корреляции между у и х₄ мала, в связи с этим нецелесообразно включать фактор х₄ в уравнение (4.1). Высок коэффициент парной корреляции между переменными х₁ и х₃ (коэффициент корреляции 0,9), что показывает их тесную корреляционную взаимосвязь. В этом случае в уравнение (4.1) не включают одновременно х₁ и х₃, а вводят один из них в зависимости от их смысла и мнения исследователя. Нецелесообразно одновременно включать в уравнение показатели, представляющие сумму некоторых факторов или их составных частей, а также характеризующие один и тот же фактор, выраженный в различных единицах измерения, например, абсолютных и относительных.