Частные коэффициенты корреляции

Обычно кроме анализа таблицы парных коэффициентов корреляции для отбора существенных факторов вычисляют частные коэффициенты корреляции, определяют надежность полученных коэффициентов регрессии по t – критерию и другие методы.

При анализе последней таблицы парных коэффициентов корреляции связи можно обратить внимание на то, что связи между изучаемыми переменными довольно сложным образом переплетаются между собой. Поэтому целесообразно рассмотреть вопрос о взаимосвязи между факторами при условии, что некоторые или все остальные факторы остаются неизменными.

Для выявления такой взаимосвязи используются коэффициенты частной корреляции.

Вычислим коэффициент частной корреляции между факторами у и х₁ при условии, что фактор х₂ закреплен на постоянном уровне (остается неизменным), тогда он равен

(4.2)

Если закреплен лишь один фактор, то такой коэффициент корреляции называется частным коэффициентом корреляции первого порядка. Если закреплены два фактора, то – второго порядка и т.д. Тогда обычный коэффициент парной корреляции можно называть частным коэффициентом корреляции нулевого порядка.

В выражении (4.2) частный коэффициент первого порядка (закреплен один фактор х₂ в скобках) выражается через коэффициенты нулевого порядка.

Частные коэффициенты корреляции второго порядка можно выразить через коэффициенты первого порядка при помощи соотношения

(4.3)

Аналогично можно записать соотношения, выражающий частный коэффициент корреляции k -го порядка через коэффициенты (k-1) -го порядка. Частные коэффициенты корреляции изменяются по величине от 0 до 1.

Следует отметить, что малость частных коэффициентов корреляции низших порядков не гарантирует малости коэффициентов более высокого порядка. Например, и могут быть оба малыми, а может быть велик.

Предположим, , тогда (4.2) запишется в виде

(4.4)

если мал, а велик, то может быть также большим.

Пример 3.

Дано , , вычислить .

Решение.

После предварительного отбора факторов на основе парных и частных коэффициентов корреляции производятся оценки параметров , обычно они осуществляются по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений в случае линейной зависимости (4.1) имеет вид

Решение такой системы может быть получено по теореме Крамера (с использованием определителей), методом Гаусса (последовательным исключением неизвестных) и другими методами.