О генезисе понятия числа у детей

<...> Как же возникает у ребенка первое осознание количественной стороны группы предметов? В ответах на этот вопрос и до сих пор ведется спор между представителями вслух противоположных взглядов. Хотя этот спор, как упоминалось, и потерял уже теперь свою остроту, он не получил еще своего окончательного разрешения. Представители одной точки зрения считают, что осознание количества возникает как результат непосредственного восприятия разных групп предметов и называния каждой группы соответствующим словом. Оно как бы является чувственным образом одновременно (симультанно) данного множества объектов, групп вещей, их коллекции.

Представители другой точки зрения полагают, что осознание количества возникает как выраженный в слове результат последовательного (сукцессивного) перебивания элементов конкретной совокупности, выделения единичных предметов из данного их множества.

Некоторые авторы выдвигают компрессорное решение этого вопроса. В советской психологической и методической литературе его инициатором был К. Ф.Лебединцев (1923). Основываясь на наблюдениях над развитием числовых представлений у своих двух детей, он пришел к выводу, будто осознание первых чисел (до 5 включительно) возникает путем созерцания групп предметов, симультанного их схватывания, а понятие о числах, больших чем 5, образуется при помощи последовательного выделения элементов множества, их счета. <...>

Легко проследить связь этих точек зрения с дискуссией о генетическом приоритете количественного или порядкового числа. Не входя в рассмотрение ее результатов, укажем на общий недостаток проявившихся в ней точек зрения: в каждой из них какое-нибудь одно из психологических условий образования понятия числа принимается за существо этого процесса.

В действительности ни отдельно взятый процесс непосредственного восприятия симультанно данных групп предметов, ни сукцессивное выделение отдельных их элементов, связанное с определенным словом, сами по себе не могут привести и не приводят к формированию понятия числа.

Осознание количества даже на первых порах, касающихся чисел в пределах 5, оказывается значительно более сложным процессом, чем это считали представители вышеуказанных взглядов. Как и всякий акт осознания, оно представляет собой решение новой для ребенка задачи, требующей абстрагирования количественных отношений от остальных свойств множеств предметов.

Необходимость абстрагировать эти отношения порождается потребностями самой деятельности ребенка и теми условиями, при которых она совершается.

Совместная деятельность ребенка с другими людьми, его взаимоотношения и общение со взрослыми становятся главным источником тех задач, разрешение которых ставит его перед необходимостью отразить в своем сознании количественный состав групп предметов. Однако, как мы видели, даже адекватное оперирование ребенком этими множествами предметов не при всяких условиях приводит к осознанию им их количественных отношений. Последние станут предметом его сознания там, где выполнение действия с множествами предметов наталкивается на затруднения, обусловленные расхождением между количественным составом и другими свойствами этих множеств. В такой ситуации наличные у ребенка способы оценки количества предметов, опирающиеся на восприятие их пространственных и других признаков, оказываются не только недостаточными, но и ошибочными. Противоречие, возникающее между новыми задачами, в разрешение которых включается ребенок, и наличными у него наглядными способами различения конкретных

множеств предметов, побуждает его к раскрытию новых сторон в тех объектах, с которыми он имеет дело.

Первые шаги на пути к осознанию количественных отношении этих объектов ребенок делает в процессе общения со взрослыми, преодолевая при выполнении практических действий с группами предметов затруднения, вызванные расхождением между величественнымии другими свойствами этих групп. Преодолевая эти затруднения, ребенок приходит к осознанию того факта, что бывают одинаковые количественные группы или множества предметов при различном их внешнем виде и разном качественном составе. Это осознание возникает у ребенка не до разрешения новой для него задачи, а в процессе ее разрешения. Как мы дальше увидим, оно и переживается ребенком как решение подлинно новой для него задачи.

<...> Выполнение задания «Взять столько же и поставить на линейку» у большинства детей происходит в два приема: сначала они, беря по одному кубику, воспроизводят описанными нами выше способами фигуру заданной совокупности, а потом расставляют ее элементы в ряд по линейке.

Некоторые дети прибегают к более совершенному способу: они только «применяют» каждый взятый кубик к каждому элементу заданной совокупности, как бы отмечая, что этот элемент уже взят, и сразу ставят его на линейку. При меньших количествах этот способ дает адекватный результат, а при больших — приводит к ошибкам.

Наиболее совершенным способом, к которому прибегали некоторые малыши при выполнении этих заданий, был следующий: они брали сразу два кубика, ставили их на линейку, затем прибавляли к ним остальные кубики, внимательно сравнивая получающееся у них количество с заданной группой объектов. Как мы дальше покажем, такой способ выполнения задания становится возможным там, где у ребенка выработалось уже довольно четкое представление о двойке. Он говорит о более высоком этапе в осознании ребенком количества вещей.

Присматриваясь к этим способам выполнения задания, мы убеждаемся в том, что все они сводятся к сопоставлению один по одному элементов образуемого множества предметов с каждым элементом дайной их совокупности.

Это действие оказывается комплексным и двойственным по своему строению актом. Оно включает противоположные операции, выработанные у ребенка в его предшествующей деятельности, а именно выделение отдельных элементов группы и их объединение, последовательное их рассмотрение и одновременное схватывание, сопоставление каждого элемента одного множества с каждым элементом другого, перебирание по одному, перенесение вместе и т. п.

Операции эти выступают более дифференцированно на первых этапах осознания количеств, выделяясь при определенных условиях даже в отдельные действия в дальнейшем они объединяются в один целостный акт, становятся более эскизными и экономными, при усложнении задания (например, при увеличении заданной совокупности) они снова дифференцируются, выступают в более развернутом виде. С помощью этого действия ребенок и раскрывает не данные ему непосредственно отношения между двумя сравниваемыми множествами предметов, устанавливает их количественную одинаковость при разном их качественном составе и различной группировке. Это действие и является первичным способом установления взаимно-однозначного

соответствия между наглядно данными множествами предметов. Содержа в себе возможность дальнейшего видоизменения и усовершенствования, оно становится со временем той основной операцией, при помощи которой у ребенка образуется понятие о числе. Следовательно, если бы у кого-нибудь возникло сомнение относительно того, стоит ли заниматься таким подробным психологическим анализом способов оперирования множествами предметов у малышей 2- 3 летнего возраста, то по поводу этого сомнения можно было бы сказать,

Что значение этого анализа выходит далеко за пределы психологии раннего возраста: тут мы присутствуем при рождении в онтогенетическом развитии человеческого сознания той основной операции, на которой зиждется вся арифметика, названная когда-то К. Гауссом «ЦАРИЦЕЙ МАТЕМАТИКИ».

<...> Обобщение первых количественных оценок совокупностей возникает у ребенка в результате решения им новых познавательных задач, требующих в ыработки более совершенных способов абстрагирования количества от других свойств множеств. Существенную роль в этом процессе играет в первую очередь расширение тех конкретных множеств разных предметов, которые ребенок познает путем своих действенных связей с внешним миром. Сравнение ребенком множеств разных предметов, в различных условиях, в различном их положении и группировке создает опытные предпосылки для обобщения количественной их оценки. Как и первое осознание количественных отношении вещей, так и обобщение их количественной оценки возникает у ребенка в процессе общения со взрослыми. Его оперирование множествами предметов и познание их количественных отношений с самого раннего возраста проникнуто языком. Даже первые его диффузные представления о множестве объектов, как мы видели, оформляются в речи. В речи проявляются и первые суждения о количественной одинаковости сравниваемых групп предметов. Чистым суждением в действии они бывают только у тех детей, которые очень отстают в развитии активной речи от своих сверстников. По этим причинам слово и становится средством обобщения первых количественных суждений ребенка.

Ребенок скоро переходит к обобщенному отражению познанных им конкретным множеств предметов. Употребление слов — числительных, которое часто возникает у ребенка как подражательный акт и рано включается в процесс формирования им этими множествами предметов, становится далее формой осознания им количественного их состава.

Ребенку не приходится самому вырабатывать эту форму, как это пришлось делать человечеству. Он усваивает от взрослых систему слов — числительных. Но это усвоение не сводится к простому запоминанию их ряда, к образованию ассоциации между словом и образом группы предметов, как это часто думают, к воспроизведению запоминаемого ряда слов. Это — обобщение познаваемых ребенком классов множеств предметов, осуществляемое в речевой форме.

Такое обобщение требует перестройки способов, которыми устанавливалось до сих пор взаимно-однозначное соответствие между конкретными множествами предметов.

Как мы видели, акт сопоставления один по одному членов этих множеств, к которому прибегают дети на первых своих шагах на пути к понятию числа, является комплексным двигательно-речевым действием. Сначала это практическое действие осуществляемое привычными, выработанными в предыдущей деятельности способами (У «правшей» — правой рукой). При дальнейшей перестройке этого действия ведущая роль скоро переходит к речевой его стороне. Употребляемые слова, усвоенные от взрослых, становятся носителем стандартной совокупности, при помощи которой начинает определяться множественность тех или иных групп конкретных предметов. Задача определить их количественный состав решается путем установления взаимно-однозначного соответствия между оцениваемой конкретной группой предметов и зафиксированной в речевых актах стандартной совокупностью. Иначе говоря, первичный способ осознания ребенком количественного состава групп предметов превращается в счет.

Счет возникает у ребенка как качественная модификация его способов познания множеств предметов, осуществляемого в общественных условиях. Его возникновение подготавливается предыдущими действиями ребенка с множествами предметов. Счет включает эти действия как свои операции (выделение элементов множества, перебирание их, установление соответствия и т. д.). Вместе с тем он и отличается от предыдущих способов определения количества объектов своим большим совершенством. Отличие проявляется и в последствиях этого действия. Его следствием является обобщенный мыслительный результат, приобретающий новую, а именно словесную, форму своего существования в которой он только и может родиться.

Словесная его форма, являясь нейтральной по отношению к определяемым совокупностям предметов, дает возможность легче абстрагировать количественную сторону от других их свойств, обобщать результаты абстракции и применять к оценке новых видов конкретных совокупностей. Тем самым становится возможным постепенный переход ребенка от образных, ситуационных суждений о количественной одинаковости конкретных множеств предметов к первым понятиям об их классах.

Таким образом, генезис понятия числа у ребенка даже на первых этапах является сложным процессом. Осознание ребенком количественной стороны множеств предметов зарождается в процессе его общения со взрослыми. Необходимое абстрагирование количественного состава множеств предметов от других их особенностей осуществляется в процессе оперирования этими предметами. Оно возникает не до действия, а в самом процессе действия и представляет собой решение новой для ребенка задачи, осуществляемое выработанными в его предыдущей деятельности способами.

Осознание ребенком количества предметов возникает не просто как образ непосредственно воспринимаемых множеств, а как суждение о количественной одинаковости сравниваемых множеств при различном их качественном составе и различной форме их пространственного размещения. Ребенок доходит до этого суждения, сопоставляя один по одному элементы оцениваемых множеств предметов. Так зарождается та основная операция, которую в теоретической арифметике называют установлением взаимно-однозначного соответствия между сравниваемыми множествами. В процессе дальнейшего действенного познания ребенком различных групп

предметов и обобщения его результатов при помощи усваиваемых от взрослых числительных эта операции превращается всчет. Последний возникает не как какой-то «искусственный» способ определения количеств вещей, якобы вытесняющий «чисто детскую», «натуральную» арифметику, а как закономерная в общественных условиях развития ребенка модификация и усовершенствование его первоначальных способов распознавания множеств вещей. Она очень рано опосредует этот процесс их распознавания.

Изучение первых шагов детей по пути к формированию понятия числа свидетельствует об ошибочных попытках найти источники становления этого понятия в той или другой отдельно взятой стороне процесса познания: в созерцании групп предметов или в мысли, в одновременности впечатлений или их последовательной смене, в различении предметов или их отождествлении, в их группировании или разложении и т. п. Понятие числа зарождается у ребенка в процессе активного, прямо или опосредованно направляемого взрослыми познания множеств объектов, которое включает эти различные стороны в их противоречивом единстве. В становлении понятия числа у ребенка действуют те же процессы и операции, которые имеют место при образовании и других его понятий о предметах и явлениях внешнего мира. Только тут они приобретают свои отличия в зависимости от тех специфических задач, в решении которых они встречаются.

Вопреки утверждениям некоторых авторов, будто существуют разные пути, которыми ребенок может дойти и доходит до усвоения первых числовых понятий, изучение данного процесса убеждает нас в том, что этот путь один. Он приобретает свои особенности в зависимости от руководства процессом формирования понятия о числе у ребенка. Успешно справляется со своими задачами то руководство, которое на этих подготовительных этапах формирования заботится о развитии у ребенка его познавательной деятельности в целом, воспитании его любознательности, обогащении его жизненного опыта и выработке операций, необходимых для рождения его арифметической мысли. Важную роль играет и усвоение числительных, но оно дает свой эффект только в сочетании с действенным познанием ребенком различных множеств предметов и обобщением его

Г.С. Костюк. Избранные психологические труды. М.: Педагогика, 1988, с. 170-194.