Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий

На практике обычно требуется определить вероятности событий, непосредственное воспроизведение которых невозможно. В этом случае применяют методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других, более сложных событий, с ними связанных. При решении таких задач используют основные теоремы теории вероятностей.

Суммойдвух или нескольких событий называют сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Для несовместных событий А_i условно пишут: , а также .

Теорема. Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

.

Следствие 1. Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Задача 1.3. В лотерее 1000 билетов, из них падает выигрышей: на один билет — 500 руб., на 10 билетов — по 100 руб., на 50 билетов — по 20 руб., на 100 билетов — по 5 руб. Остальные билеты — невыигрышные. При взятии случайным образом одного билета найти вероятности следующих событий:1) выиграть не менее 20 руб. и 2) выиграть любую сумму.

Решение. Обозначим события: В ₁ — выигрыш не менее 20 руб.; В ₂ — выигрыш любой суммы; А ₁ — выигрыш 20 руб.; А ₂ — выигрыш 100 руб.; А ₃ — выигрыш 500 руб.; А ₄ — выигрыш 5 руб. Согласно условию — ; . События А_i несовместны, поэтому применима теорема:

;

.