Пример 4. Решение: Выпишем интегрант задачи и уравнение Эйлера:

.

Решение: Выпишем интегрант задачи и уравнение Эйлера:

;

. (3)

Уравнение Эйлера представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: .

Корни характеристического уравнения равны , поэтому

.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

.

Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим . Поэтому

.

Постоянные найдем из краевых условий:

.

Получаем единственную допустимую экстремаль:

.

Проведем исследование полученного решения. Для этого возьмем произвольную допустимую функцию и рассмотрим разность

.

При выводе последнего неравенства было использовано неравенство Стеклова.