Пример 2. Решение: Интегрант задачи равен

.

Решение: Интегрант задачи равен .

Выпишем уравнение Эйлера: .

Уравнение Эйлера представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид:

.

Константы найдем из граничных условий:

.

Откуда получаем единственную возможную допустимую экстремаль .

Покажем, что найденная функция не доставляет локального экстремума в поставленной задаче.

Рассмотрим последовательность функций . Для любого значения функции являются допустимыми и, кроме того, при . Вычислим значение функционала на :

Рассмотрим другую последовательность допустимых функций, сходящихся к по норме пространства : . Вычислим значение функционала на :

Так как , а , то .

Из этого примера видно, что уравнение Эйлера - необходимое, но не достаточное условие экстремума. ●