Примеры выпуклых функций

1) ,

где функция одной переменной дифференцируема на интервале , причем производная не убывает на этом интервале.

1а) , 1б) ,

1в) .

2) ,

где - выпуклое открытое множество пространства , функция определена и дважды непрерывно дифференцируема на множестве и

.

3) .

4) .

Действительно, и

,

т.е. для функции выполняется неравенство Иенсена.

5) .

Действительно,

.

Кроме того,

либо ,

либо ,

т.е. для функции выполняется неравенство Иенсена.

6) .

Выпуклость этой функции следует из свойств нормы: , .

Определение. Субдифференциалом выпуклой собственной функции в точке называется следующее множество в пространстве :

. ▲

Геометрический смысл субдифференциала: - это множество угловых коэффициентов линейных функций таких, что и . Если - дифференцируемая функция одной переменной, то - это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке . Если не дифференцируема в точке , то - это множество угловых коэффициентов прямых, проходящих через точку и лежащих целиком ниже графика функции .