Занятие 2. Гладкие конечномерные экстремальные задачи с ограничениями типа равенств

Постановка задачи:

, (1)

где функции переменных определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой области (т.е. и определены и непрерывны в ).

Определение. Точки , удовлетворяющие условиям ,называются допустимыми по ограничению в задаче (1). ▲

Определение. Говорят, что допустимая точка доставляет в задаче (1) локальный минимум (локальный максимум): (), если такое, что для любой допустимой точки , удовлетворяющей условию , выполнено неравенство . ▲

Определение. Функция , где , называется функцией Лагранжа задачи (1), а числа - множителями Лагранжа. ▲

Теорема 1. (Необходимое условие локального экстремума 1‑го порядка)

1) Пусть - точка локального экстремума в задаче (1), а функции непрерывно дифференцируемы в этой точке. Тогда существует ненулевой вектор множителей Лагранжа такой, что для функции Лагранжа задачи (1) выполняется условие стационарности по :

. (2)

2) Для того, чтобы , достаточно, чтобы векторы были линейно независимы. ■

Определение. Допустимые точки , в которых выполнены условия (2), называются стационарными. ▲

Теорема 2. (Необходимые условия локального экстремума I‑II порядка)

Пусть 1) ;

2) ;

3) система векторов линейно независима (условие регулярности).

Тогда существует вектор множителей Лагранжа такой, что для функции Лагранжа задачи выполнены условия:

а) стационарности: ;

б) неотрицательной (неположительной) определенности квадратичной формы

для всех , удовлетворяющих условию . ■

Теорема 3. (Достаточные условия локального экстремума I-II порядка)

Пусть 1) ;

2) система векторов линейно независима (условие регулярности);

3) существует вектор множителей Лагранжа такой, что для функции Лагранжа задачи выполнены условия:

а) стационарности: ;

б) положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы

для всех и удовлетворяющих условию . Тогда

. ■

Здесь запись означает, что функции переменных определены в некоторой окрестности точки и имеют непрерывные частные производные до 2‑ого порядка включительно.

Для решения задач с ограничениями типа равенств следует:

1) Составить функцию Лагранжа .

2) Найти стационарные точки из системы уравнений

(3)

3) Найти решение среди стационарных точек или доказать, что решения нет.

Для этого можно пытаться выполнить непосредственную проверку или воспользоваться условиями локального экстремума второго порядка. Если достаточные условия локального экстремума не выполняются, то следует проверить выполнение необходимых условий. Если они выполнены, то требуется дополнительное исследование, если нет, то в этой точке нет локального экстремума.

Замечание 1. Для определения и из системы (3) получается уравнений с неизвестными. Множители Лагранжа определяются с точностью до пропорциональности. Следует отдельно рассмотреть случаи и . Если , то, умножив все множители Лагранжа на одно и то же число, можно добиться, например, равенства . Тогда число уравнений сравняется с числом неизвестных.

Замечание 2. Зачастую правило множителей Лагранжа формулируется с без дополнительного предположения, например, линейной независимости векторов . Следующий пример показывает, что не всегда можно полагать .

Пример 1. .

Из ограничения задачи получаем, что , следовательно, точка является решением. Однако, если сразу положить , то функция Лагранжа примет вид:

.

Система уравнений для нахождения стационарных точек выглядит следующим образом:

Нетрудно убедиться, что эта система уравнений решений не имеет.

Если же , то система (3) принимает вид:

Откуда получаем . ●

Пример 2. .

Решение. Составим функцию Лагранжа .

Найдем стационарные точки из системы уравнений:

1) Если , то из первых двух уравнений системы получим , что противоречит третьему уравнению связи.

2) Положим . Тогда

.

Множество точек , удовлетворяющих ограничению задачи , ограничено и замкнуто. Согласно теореме Вейерштрасса существует решение задачи на абсолютный минимум и абсолютный максимум. Так как , то .

Ответ:

. ●

Пример 3. .

Решение. Составим функцию Лагранжа .

Найдем стационарные точки:

1) Если , то из первых двух уравнений системы получим , что противоречит последнему условию системы.

2) Положим . Тогда

Получена одна стационарная точка . Заметим, что . Действительно, возьмем две последовательности допустимых точек . Тогда

при ,

при .

Следовательно, найденная стационарная точка может доставлять в задаче только локальный экстремум. Проведем непосредственную проверку. Рассмотрим допустимые точки из окрестности этой точки . Из уравнения связи получим:

.

Тогда при достаточно малом по модулю

.

Откуда следует, что является точкой локального минимума в поставленной задаче.

Ответ: . ●

Замечание 3. Если уравнения связи удается разрешить относительно каких-либо переменных, например, , , то поставленная задача сводится к задаче без ограничений на нахождение экстремума функции от переменных . Например, в последней задаче из уравнения связи получаем . Тогда исходная задача сводится к нахождению экстремумов функции одной переменной .

Пример 4. .

Решение. Составим функцию Лагранжа

.

Найдем стационарные точки из системы уравнений:

Если , то из третьего уравнения получаем . Тогда из первого и второго уравнения получим , что противоречит ограничениям задачи.

Положим . Тогда из первых трех уравнений системы получим: . Подставим эти значения в четвертое и пятое уравнения системы:

.

Получаем следующие стационарные точки:

при ;

при ;

при ;

при .

Для исследования полученных стационарных точек воспользуемся условиями второго порядка:

;

.

Для точки имеем:

.

Согласно достаточным условиям второго порядка .

Для точки имеем:

;

.

Следовательно, .

Для точки имеем:

;

.

Следовательно, .

Для точки имеем:

.

Следовательно, .

Уравнения связи задают эллипс в трехмерном пространстве, который получается в пересечении цилиндра и плоскости. Это означает, что экстремум функции ищется на замкнутом ограниченном множестве. По теореме Вейерштрасса существует решение задачи на абсолютный минимум и абсолютный максимум. Вычислим значение целевой функции в полученных точках:

.

Сравнивая между собой полученные значения, делаем вывод, что , .

Ответ:

;

;

. ●