Выпуклые задачи без ограничений

Постановка задачи: , где - выпуклая функция.

Теорема. (Аналог теоремы Ферма)

Для того чтобы точка доставляла в выпуклой задаче без ограничений абсолютный минимум, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство:

. ■

Задача. Решить выпуклую задачу без ограничений:

.

Решение: Функции и являются выпуклыми функциями двух переменных. Поэтому их сумма также является выпуклой функцией. Согласно теореме Моро-Рокафеллара субдифференциал суммы функций равен сумме субдифференциалов. Субдифференциалы функций имеют вид:

,

Тогда

Используя необходимые и достаточные условия абсолютного минимума в выпуклой задаче без ограничений, получим:

, или , или .

Первая и третья системы уравнений и неравенств решений не имеют, а решение второй системы имеет вид: .

Ответ: . ●