Занятие 4. Элементы выпуклого анализа. Выпуклые задачи

Определение. Множество называется выпуклым, если и элемент . ▲

Другими словами, множество выпукло, если с двумя любыми своими точками оно целиком содержит и отрезок, соединяющий их.

Пусть задана функция . Рассмотрим два множества:

- эффективное множество,

- надграфик.

Определение. Функция называется выпуклой, если - выпуклое множество. Функция называется собственной, если и . ▲

Утверждение. Собственная функция выпукла тогда и только тогда, когда выполняется неравенство Иенсена:

.

■

Утверждение. Сумма конечного числа выпуклых функций есть выпуклая функция.

Действительно, пусть , где - выпуклые функции . Тогда

. ■