Занятие 3. Гладкие конечномерные экстремальные задачи с ограничениями типа равенств и неравенств

Постановка задачи:

, (1)

где функции переменных определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой области .

Определение. Множество

называется множеством допустимых точек задачи (1). ▲

Определение. Говорят, что допустимая точка доставляет в задаче (1) локальный минимум, и пишут , если такое, что для любой допустимой точки , удовлетворяющей условию , выполнено неравенство . ▲

В задачах, имеющих ограничение в виде неравенств, важно, является ли рассматриваемая задача задачей на минимум или задачей на максимум. Задачу на максимум можно свести к задаче на минимум:

.

Определение. Функция , где , называется функцией Лагранжа задачи (1), а числа - множителями Лагранжа. ▲

Теорема. (Необходимые условия локального минимума 1-го порядка)

Пусть - точка локального минимума в задаче (1), а функции непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности этой точки. Тогда существует ненулевой вектор множителей Лагранжа такой, что выполняются условия:

а) стационарности функции Лагранжа:

;

б) дополняющей нежесткости:

;

в) неотрицательности:

. ■

Следует отметить, что условия дополняющей нежесткости выписываются для ограничений, задаваемых в виде неравенств, а условия неотрицательности - для множителей Лагранжа, соответствующих целевой функции и ограничениям, задаваемым в виде неравенств.

Определение. Допустимые точки , в которых выполняются условия а), б), в), называются критическими. ▲

Для решения задач вида (1) с ограничениями типа равенств и неравенств следует:

1) Составить функцию Лагранжа .

2) Найти критические точки из системы уравнений и неравенств:

(2)

При этом следует рассмотреть отдельно два случая: и . В случае положить равным единице или другой положительной константе.

3) Провести исследование полученных решений системы (2).

Замечание. Если требуется найти все экстремумы функции, то следует сначала решить задачу на минимум, а затем решить задачу на максимум, сведя ее к задаче на минимум.