Занятие 1. Гладкие конечномерные задачи без ограничений

Пусть – функция действительных переменных, – множество, на котором функция определена, – -мерное арифметическое евклидово пространство, элементами которого являются упорядоченные совокупности действительных чисел .

В пространстве вводятся операции сложения и умножения на число:

,

.

Расстояние между элементами в вводят следующим образом: . Это расстояние называют евклидовым. Если в ввести норму элемента по формуле , то .

Постановка задачи состоит в нахождении экстремума функции :

.

Определение. Точка называется точкой абсолютного или глобального минимума (максимума) функции , если выполнено неравенство . Величина называется численным значением задачи и обозначается . Если экстремум не достигается, то следует указать последовательность точек , на которой при . ▲

Определение. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции , если такое, что для любой точки , удовлетворяющей условию , выполнено неравенство

. ▲

Теорема 1. (Необходимые условия локального экстремума 1‑го порядка)

Если – точка локального экстремума функции переменных и функция дифференцируема в точке , то

. ■

Точки , в которых , называются стационарными.

Теорема 2. (Необходимые условия локального экстремума I‑II порядка)

Пусть функция от переменных определена в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные до 2-ого порядка включительно в точке . Если , то где . ■

Теорема 3. (Достаточные условия локального экстремума I-II порядка)

Пусть функция от переменных определена в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные до 2-ого порядка включительно в точке . Если

1) ,

2) и некотором , то . ■

Условие 2) теоремы 3 является условием положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы с матрицей . При практическом применении теоремы 3 возникает вопрос, будет ли квадратичная форма положительно или отрицательно определенной. Критерием положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы является критерий Сильвестра.

Критерий Сильвестра. Квадратичная форма положительно определена все главные миноры матрицы положительны:

Квадратичная форма отрицательно определена . ■

Теорема 4. (Достаточные условия локального экстремума I-II порядка для функции двух переменных)

Пусть функция двух переменных определена в некоторой окрестности точки , имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно в точке и .

а) Если , то ;

б) если , то ;

в) если , то ;

г) если , то требуется дополнительное исследование.

■

При исследовании вопроса о достижении функцией абсолютного максимума или минимума часто используется теорема Вейерштрасса и следствие из нее.

Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмножестве конечномерного пространства достигает своих абсолютных максимума и минимума. ■

Следствие. Если функция непрерывна на и , то она достигает своего абсолютного минимума (максимума) на любом замкнутом подмножестве пространства . ■

Пример 1. .

Выпишем необходимые условия локального экстремума 1‑го порядка:

Решая полученную систему уравнений, находим стационарные точки:

.

Для исследования стационарных решений составим матрицу вторых производных функции :

.

Для точки :

.

Для точки :

.

Для точки :

.

Для точки :

.

Далее,

при ;

при .

Поэтому .

Ответ: ; ;

. ●

Пример 2. .

Необходимые условия локального экстремума 1-го порядка имеют вид:

Решая полученную систему уравнений, найдем стационарные точки: , .

Для проверки условий 2-го порядка выпишем матрицу вторых производных функции :

С помощью теоремы 4 проведем исследование полученных стационарных точек.

Для точки имеем:

.

Для точки имеем:

критерий Сильвестра не дает ответа на вопрос об экстремуме функции .

Рассмотрим окрестность точки в пространстве . При имеют место соотношения:

.

Откуда следует, что .

Для решения вопроса об абсолютном экстремуме, вычислим предел . Перейдем к полярным координатам: . Тогда

Согласно следствию теоремы Вейерштрасса , .

Ответ: ; . ●

Пример 3. .

Необходимые условия 1-го порядка имеют вид:

Решая полученную систему алгебраических уравнений, находим стационарные точки:

.

Для проверки условий 2-го порядка выпишем матрицу вторых производных функции :

.

В точке :

.

В точке :

.

Для точек :

требуется дополнительное исследование.

Рассмотрим точки из окрестности токи . Здесь - вещественные числа произвольного знака, сколь угодно малые по модулю. Тогда

.

Если , то , следовательно, и .

Если , то . Так как , а может быть как отрицательным, так и положительным, то и .

Если , то , следовательно, и .

Если , то

.

Так как , а может быть как отрицательным, так и положительным, то .

Если , то , следовательно, и .

Покажем, что :

при , при .

Ответ: ;

при и ;

при ;

. ●