Метод Симпсона

В этом методе кривая подынтегральной функции заменяется кусочно-непрерывной линией, состоящих из отрезков квадратичных парабол, следовательно, в методе используется квадратичная интерполяция для аппроксимации подынтегральной функции:

, .

В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки :

Элементарная площадь может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенство , получаем:

Такие вычисления проводятся для каждого элементарного отрезка ().

Просуммируем полученные выражения:

.

Полученное выражение принимается в качестве значения определенного интеграла.

(2.3)

Данное соотношение и есть формула Симпсона.

Метод Симпсона обладает более высокой точностью по сравнению с методами трапеций и прямоугольников.

,

где – наибольшее по абсолютной величине значение четвертой производной функции, которая интегрируется. Оценить четвертую производную можно через четвертые разности функции: .

Блок-схема метода средних с фиксированным числом разбиений приведена на рис. 2.1.

Рис.2.1. Блок-схема метода средних с фиксированным числом разбиений.