Определение предельной ошибки выборки для различных способов формирования выборочной совокупности

Вид выборочного наблюдения	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Собственно-случайная и механическая выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Типическая выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Серийная выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака

Зная ошибки выборки, среднюю и долю в выборочной совокупности, можно определить пределы (границы) для средней и доли в генеральной совокупности по формулам:

– возможные пределы для средней в генеральной совокупности:

или ;

– возможные пределы для доли в генеральной совокупности:

или .

Пример. 1. В одном из университетов города проведено выборочное обследование среднего возраста обучающихся студентов (собственно-случайная выборка бесповторный отбор). Из предыдущих исследований известно, что стандартное отклонение равно 2 года. В результате обследованы 50 студентов и вычислено выборочное среднее - 20,3 года. Требуется построить 95%-ый доверительный интервал для генерального среднего.

Решение

По выборке вычислено выборочное среднее 20,3.

Доверительная вероятность 95% соответствует z-значению

1,96 (табличное значение). Вычислим точность интервальной оценки по формуле:

Подставим полученные значения в формулу для доверительного интервала:

20,3 − 0,55 < 20,3 + 0,55

Средний возраст студентов университета с вероятностью 0,95 находится в интервале между 19,75 и 20,85 лет.

Наряду с абсолютным значением предельной ошибки выборки рассчитывается и предельная относительная ошибка выборки, которая определяется как процентное отношение предельной ошибки выборки к соответствующей характеристике выборочной совокупности (%):

– для средней:

;

– для доли:

.

Пример 2. Для определения среднего размера вклада в ВТБ было проведено выборочное обследование 1000 личных счетов, выборка – 10%. В результате выборки установлено, что средний размер вклада составил 4000 руб. при среднем квадратическом отклонении 90 руб. С вероятностью 0,954 определить границы, в которых будет находится средний размер вклада в ВТБ.

Дано: n=1000 (0,1)
	Вывод: С вероятностью 0,954 можноутверждать, что средний размер вклада находится в пределах от 3994,6 руб. до 4005,4 руб.

Пример 3. В поселке городского типа 10000 семей. Методом случайного бесповторного отбора исследовано 1000 семей. В результате чего установлено, что 450 семей имеют автомобиль. С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых будет находится доля семей, имеющих автомобиль в генеральной совокупности.

Дано: N=10000	или 45%   или 5%
	Вывод: С вероятностью 0,997 можем утверждать, что доля семей, имеющих автомобиль в целом по городу находится в пределах от 40% до 50%.

При разработке программы выборочного обследования одним из наиболее сложных является вопрос о том, сколько единиц изучаемой совокупности необходимо обследовать, чтобы уменьшить ошибку выборки, необходимо увеличить ее объем, но при этом возрастут и затраты на проведение обследования. Определяя необходимую численность выборочной совокупности прежде всего оценивают допустимую ошибку.

Необходимую численность выборки при собственно случайном или механическом отборе определяют основываясь на формулу предельной ошибка выборки для средней:

. (9.17)

Обе части уравнения возведем в квадрат:

(9.18)

следовательно необходимая ее численность определяется по следующей формуле:

. (9.19)

При бесповторном отборе n рассчитывается по следующей формуле:

. (9.20)

Формулы для определения необходимой численности выборки приведены в таблице 9.3.

Для определения необходимой численности выборки должны быть заданы предельная ее ошибка и вероятность того, что эта ошибка не превысит заданного предела.

Наиболее сложно определить дисперсию изучаемого признака в генеральной совокупности.

Таблица 9.3