Некоторые значения t-распределения Стьюдента

Число степеней свободы
для одностороннего интервала	для двухстороннего интервала
p=0,95	p=0,99	p=0,95	p=0,99
	2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,75 1,73 1,70 1,67 1,64	4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,60 2,53 2,46 2,39 2,33	3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,13 2,09 2,04 2,00 1,96	5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,35 3,17 2,95 2,85 2,75 2,66 2,58

Из табл. 9.5 следует, что для каждого числа степеней свободы k = n - 1 указана предельная величина (t_0,95 или t₀,₉₉), которая с данной вероятностью р не будет превышена в силу случайных колебаний результатов выборки. На основе указанной в табл.4 величины определяются доверительные интервалы: . Это область тех значений генеральной средней, выход за пределы которой имеет весьма малую вероятность, равную:

q=1-p.

В качестве доверительной вероятности при двусторонней проверке используют, как правило p=0,95 или p=0,99, что не исключает, однако, выбора и других p, не приведенных в табл. 4.

Вероятности q случайного выхода оцениваемой средней величины за пределы доверительного интервала соответственно будут равны 0,05 и 0,01, т. е. весьма малы. Выбор между вероятностями 0,95 и 0,99 является до известной степени произвольным. Этот выбор во многом определяется содержанием тех задач, для решения которых применяется малая выборка.

Пример 6. В результате выборочной проверки налоговой инспекцией 10 промышленных предприятий города средняя доля документально неоформленных работ на них составила 17 %. Определить вероятность того, что в генеральной совокупности доля документально неоформленных работ не превышает 25%.

Для нахождения средней ошибки малой выборки необходимо знать ее дисперсию:

= w(1-w)= 0,17(1-0,17)=0,1411.

В таком случае мы можем определить предельную ошибку доли в малой выборки:

Следовательно,

По таблице распределения Стъюдента при t=0,64 и n=10 вероятность S(t) =0,718.

Таким образом, с вероятностью 0,718 можно утверждать, что доля документально неоформленных работ на всех предприятиях города не превышает 25%.

Пример 7. При выборочном обследовании налоговой инспекцией 15 обменных пунктов города было установлено, что разница между курсом покупки и курсом продажи в среднем составляет 84 коп за 1 долл. США при среднем квадратическом отклонении 10 коп. С вероятностью 0,95 определить пределы, в которых находится разница между курсом покупки и курсом продажи валюты во всех обменных пунктах города.

Решение

На основании исходных данных определим среднюю ошибку малой выборки:

Так как P(t)=0,95, то:

При n=15 (то есть к=15-1=14) и S(t)=0,975 по таблице распределения Стъюдента значение t находится с помощью таблицы «значения t-критерия Стъюдента. При к=14 и =0,05 (1-0,95) соответствует значение t=2,145.

Следовательно, предельная ошибка выборки равна:

Пределы, в которых находится разница между курсом покупки и курсом продажи валюты, при найденном значении предельной ошибки выборки составляют:

то есть

или

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что в генеральной совокупности разница между курсом покупки и курсом продажи валюты составляет от 78 до 90 коп.

Контрольные вопросы

1. Какое наблюдение называется выборочным?

2. В чем преимущества выборочного наблюдения перед сплошным?

3. В чем различие повторной и бесповторной выборки?

4. Какие методы отбора выборочной совокупности?

5. Что представляет собой индивидуальный, групповой и комбинированный отбор?

6. Какие существуют способы отбора?

7. Что собой представляет типический отбор?

8. Что представляет собой средняя ошибка выборки для средней величины и доли признака в совокупности?

9. Что показывает коэффициент доверия?

10. Что представляет собой малая выборка?