Тема 8. Изучение вариации

Вариацией называется изменчивость значений признака у единиц однородной совокупности, которые обусловлены влиянием действия совокупности различных факторов.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом – эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом – велика

Для оценки вариации используются абсолютные и относительные показатели вариации. Абсолютные показатели вариации – это размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Относительные показатели вариации характеризуют колеблемость изучаемого признака в виде отношения абсолютного показателя вариации к средней арифметической. К ним относятся: коэффициент вариации, коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение.

Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации.

Размах вариации (R) определяется как разность между наибольшим (Х_max) и наименьшим (Х_min) значением вариантов:

. (8.1)

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонения всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться вычислением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику. Простейший показатель такого типа - среднее линейное отклонение

Среднее линейное отклонение () представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

- для несгруппированных данных; (8.2)

- для сгруппированных данных. (8.3)

Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признака в совокупности. При возведении всего отклонения в квадрат получают меру вариации, которая носит название дисперсия.

Дисперсией () называется средняя арифметическая квадратов отклонений конкретных значений варьирующего признака от его средней арифметической:

- для несгруппированных данных; (8.4)

- для сгруппированных данных. (8.5)

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия.

Среднее квадратическое отклонение () – это корень квадратный из дисперсии:

. (8.6)

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно вычисляется в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях, процентах и т.д.).

Для сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, приведенные в относительных величинах. Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Различают следующие относительные показатели вариации:

1. Коэффициент вариации () является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин:

. (8.7)

2. Коэффициент осцилляции():

. (8.8)

3. Относительное линейное отклонение ():

(8.9)

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение выражаются в тех же единицах измерения, что и . Коэффициент вариации, коэффициентосцилляции, относительное линейное отклонениеизмеряются в процентах.

Если коэффициент вариации меньше 33%, то данная совокупность по изучаемому признаку является однородной и в такой совокупности можно вычислять среднюю величину (по изучаемой совокупности).

Пример 1. На основе имеющихся данных о распределении рабочих по тарифным разрядам (табл. 8.1), определить: дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Таблица 8.1

Расчетная таблица

Исходные данные	Расчетные показатели
Тарифный разряд,	Число рабочих,
			-2,5	-2,5	6,25
			-1,5	-3,0	4,50
			-0,5	3,0	1,50
			0,5	4,0	2,00
			1,5	4,5	6,75
Итого			-	-	21,00

Как видно из формул, для расчета показателей вариации необходимо предварительно исчислить среднюю величину.

разряда;

Дисперсию:

;

Среднее квадратическое отклонение:

разряда;

Коэффициент вариации:

Коэффициент вариации меньше 33%, следовательно совокупность рабочих по тарифным разрядам является однородной и - надежна, ее можно рассчитывать в данной совокупности.

В ряде случаев возникает необходимость в измерении дисперсии так называемых альтернативных признаков, тех, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие.

Если обозначим: 1 – наличие интересующего нас признака; 0 – его отсутствие; p- доля единиц, обладающих данным признаком; q – доля единиц, не обладающих данным признаком; то p+q=1.

Исчислим среднее значение альтернативного признака и его дисперсию.

Среднее значение альтернативного признака:

так как p + q=1

Дисперсия альтернативного признака:

Подставив в формулу дисперсии q = 1 – p, получим:

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при р=0,5.

Пример 2. В трех партиях готовой продукции, представленной на контроль качества, была обнаружена годная и бракованная продукция (табл. 8.2).

Таблица 8.2