Построение области устойчивости в плоскости параметров системы

Использование критериев устойчивости не позволяет получить ответ: «В каких пределах можно варьировать параметры системы, сохранив ее устойчивость?». Данную задачу решил Нейморк, и этот метод вошел в теорию автоматического управления, как: «Построение области устойчивости в плоскости параметров системы».

Метод является графоаналитическим и позволяет определить пределы варьирования одного или двух параметров системы.

Суть метода. Изменяя параметры системы в определенной последовательности, можно выбрать те комбинации параметров, когда корни характеристического уравнения системы являются нулевыми (расположены на оси ординат). На рис. 2.22 точки 1,2,3… m являются той комбинацией параметров M и N, когда хотя бы одна пара из корней характеристического уравнения системы является мнимой. Соединив точки, получаем кривую, которая называется – кривая D -разбиения.

Рис. 2.22. Кривая D – разбиения в плоскости параметров C и D

Кривая D -разбиения разбивает плоскость параметров M и N на области с различным содержанием левых и правых корней. Та область, где все корни характеристического уравнения системы являются левыми, претендует на область устойчивости. Для выявления области устойчивости используется штриховка кривой D -разбиения. Исходным уравнением для построения область устойчивости является характеристического уравнения замкнутой системы, которое содержит варьируемые параметры M и N.

Рассмотрим алгоритм построения области устойчивости в плоскости одного параметра системы N.

1. В характеристическом уравнении замкнутой системы выявляется варьируемый параметр N.

2. Выражается данное уравнение относительно варьируемого параметра N.

3. Переходя в частотный диапазон, заменяя , выделяя вещественную и мнимую составляющие, получаем уравнение кривой D -разбиения .

4. Задавая частоту =0 до , строим одну ветвь кривой D-разбиенияи при =- до 0 – другую ветвь.

5. Нанося штриховку на ветви кривой D-разбиения,выделяемобласть устойчивости.

6. Из области устойчивости выбираем пределы варьирования параметра N.

7. Для выбранного значения N, и,используя любой критерий устойчивости, выполняем проверкунайденной области.

Пример 2.11. Построить область устойчивости в плоскости параметраN=К_РС. Определить пределы варьирования К_РС и значение критического коэффициента К _КР САР частоты вращения ДПТ.

Решение.

Воспользуемся характеристическим уравнением замкнутой системы частоты вращения ДПТ из примера 2.10:

A(s)=0,0007 +0,043 +0,41 +1,3 + + 1=0.

Выразим из этого уравнения

= –0,0007 –0,043 –0,41 –1,3 –1.

Переходим в частотный диапазон и, используя ППП Mathcad, строим кривую D – разбиения в плоскости варьируемого параметра .

Рис. 2.23. Кривая D –разбиения в плоскости параметра

Из рисунка видно, что область устойчивости – это III область. Из нее выбираем пределы варьирования = (0 10,7). Следовательно, значение критического коэффициента К _КР САР частоты вращения ДПТ равно 10.7, что хорошо совпадает с найденным значением примера 2.10.