Функции сложного процента

1. Будущая стоимость денежной единицы FV - показывает до какой суммы дорастет одна денежная единица за п периодов, депонированная под i процентов годовых, при условии, что проценты начисляются в конце каждого периода и добавляются к уже накопившейся сумме. Для расчетов значение функции следует умножить на количество денежных единиц.

FV = (1 + i)ⁿ х P, где:

i – годовая процентная ставка,

n – количество лет,

P – депонированная сумма денег.

Пример: Определить, чему будет равна сумма вклада на банковском счете через 5 лет, если в настоящее время депонировать

1000 у.е. под 12% годовых с ежегодным начислением процентов.

Решени е: FV = (1 + 0,12)⁵ х 1000= 1762у.е.

Можно было вместо расчета с возведением в степень воспользоваться финансовой таблицей: находим значение функции в первой колонке 5-ая строчка 1,762 и умножаем на 1000у.е.

При условии ежемесячных начислений надо годовую процентную ставку в формуле надоразделить на 12, а количество периодов умножить на 12. Тогда формула принимает вид: FV = (1 + I /12) ¹²ⁿ х Р,

а наш расчет FV = (1+0,12 / 12)⁶⁰ х 1000 = 1817у.е.

При использовании финансовых таблиц в этом случае надо было взять таблицу с 12-процентной годовой ставкой, но с ежемесячными начислениями процентов: значение функции 0,1817.

Чем чаще производятся начисления процентов, тем больше итоговая сумма при том же уровне годовой ставки.

2. Накопление единиц за период (или будущая стоимость суммы единиц FV) - показывает каким будет накопительный счет через n периодов, если в конце каждого периода к накопленной сумме добавлять одну денежную единицу при условии начисления i процентов за период.

Формула для одной денежной единицы:

FV* = (1 + i) ⁿ - 1

I

Полученное значение функции остается умножить на величину периодических взносов.

Пример: Определить, какая сумма накопится за 8 лет, если ежемесячно вносить на накопительный счет по 500 руб. при условии, что банк производит ежемесячные начисления процентов, исходя из 10% годовых.

Решение: (1+0,10 / 12) ⁹⁶ – 1 и все это умножить

FV * = 0,10 / 12 на 500 руб.. Здесь наглядно видно, насколько удобнее было бы, вместо достаточно трудоемкого расчета функции по формуле, воспользоваться таблицей, взяв готовое ее значение 146,18, и просто умножив его на 500 руб. Ответ: 73 400 руб.

3. Фа ктор фонда возмещения (функция обратная ко второй)- показывает сумму равновеликих периодических платежей PMT, которыми можно за n периодовнакопить определенную сумму.

i

. PMT* =

I)n - 1

Полученное значениефункции умножается на требуемую сумму.

Пример: Определить, какими ежемесячными взносами на накопительный счет можно за 5 лет накопить 100 000 руб., при условии 10-процентной годовой ставки и ежемесячных начислений процентов.

Решение: Либо расчет делается по формуле с подстановкой значений: РМТ = 0,10 / 12 и все это умножить

(1+0,10 / 12)⁶⁰ - 1 на 100 000 руб.

либо находим в таблице значение функции (3-я колонка, 5-ая строчка) 0,01291 и умножаем на 100 000 руб., ответ: ежемесячно надо вносить по 1291 руб.

Итак, с помощью второй функции находим, какая сумма накопится при равновеликих периодических добавлениях, а с помощью третьей функции - какими должны быть периодические добавления на счет, чтобы накопить нужную сумму.

4. Текущая стоимость реверсии (текущая стоимость единицы) PV - показывает текущую (сегодняшнюю) стоимость 1 денежной единицы, которая будет получена через определенное количество периодов. Или иначе: какую сумму надо депонировать сегодня, чтобы через n периодов она за счет процентов доросла до одной единицы.

1_____

PV = (1 + i)ⁿ

Эта функция - обратная к первой. Здесь i - ставка дисконта (дохода) означает, что если сегодня какую-то сумму денег вложить в дело с годовой ставкой дохода i, то через определенное число периодов n она бы выросла. Поэтому будущую номинальную сумму денег для приведения к сегодняшней оценке надо в той же пропорции уменьшать (дисконтировать).

Пересчет будущей стоимости в текущую стоимость называется дисконтированием, а используемая для этого процентная ставка i называется ставкой дисконта. В других дисциплинахтекущая стоимость может называться приведенной, настоящей или современной стоимостью.

Пример: Определить текущую стоимость выручки от продажи недвижимости через 5 лет, если предполагаемая цена на нее может составить 100 тыс.руб., а ставка дисконта 12%. Расчет по формуле:

1: 1,12⁵ х 100 000 = 55 000 руб., либо по таблице: находим значение функции 0,550 и умножаем на 100 000 руб. Ответ: 55 000 руб.

На этом примере можно сделать вывод: если в настоящее время за объект недвижимости заплатить 55 тыс. руб., а через 5 лет его продать за 100 тыс. руб., то ежегодная доходность инвестиции составит 12%.

5. Текущая стоимость обычного аннуитета ∑PV.

Аннуитет - серия равновеликих платежей, производимых через равные промежутки времени.

∑PV = 1 - 1 / (1 + i)ⁿ

I

Различают обычный аннуитет (приведенная формула), когда платежи производятся в конце каждого периода, и авансовый аннуитет, когда платежи производятся в начале каждого периода. Для расчета текущей стоимости авансового аннуитета в приведенной формуле количество периодов надо уменьшить на один, а в конце к общей дроби добавить единицу.

PV = 1 - 1 / (1 + i) n-1 + 1 и полученное значение

i умножить на сумму

платежа.

Здесь дело в том, что первый платеж, поступивший в начале периода, не надо дисконтировать, поэтому число периодов для дисконтирования уменьшается на один, а первый платеж просто прибавляется без дисконтирования.

Пример: Определить текущую стоимость арендных платежей за 7 лет, если платежи в размере 20 тыс.руб. вносятся в начале каждого года, а ставка дисконта 12%.

Решение по формуле: 1 - / 1,12 ⁶ полученное значение умножить

0,12 на 20 000 руб. и еще

прибавить 20 000 руб. первого платежа. Либо находим в таблице значение пятой функции для периода 6 лет - 4,355, умножаем на сумму платежа 20 000 руб., получаем 87100 руб. – это текущая стоимость аннуитета за 6 лет; к этой сумме добавляем 20 000 руб. (авансовый платеж за первый год), ответ 107100 руб.

6. Взнос на амортизацию денежной единицы (или ипотечная постоянная) - показывает равновеликие периодические платежи PMT, необходимые для полной амортизации кредита вместе с начисляемыми процентами. Эта функция - обратная к пятой.

i

PMT = 1 - 1 / (1 + i)n

Пример: Определить размер ежемесячных аннуитетных платежей по обслуживанию ипотечного кредита в сумме 100 000 руб., предоставленного на 15 лет под 12% годовых (амортизация кредита вместе с выплатой процентов). Решение с помощью таблиц: находим в 12%-ых ежемесячных таблицах значение 6-ой функции для 15 лет – 0,012 и умножаем на 100 000 руб. Ответ: ежемесячные платежи по обслуживанию долга составят 1200 руб.

Очень удобно вести расчеты, связанные с функциями сложного процента, с помощью специального финансового калькулятора, который имеет дполнительные кнопки этих функций и очень упрощает процедуру расчетов. При неимении финансового калькулятора проще всего пользоваться финансовыми таблицами, которые имеются в большинстве учебников по финансовой математике, а также продаются отдельными сборниками.

Построение таблиц может быть различным, но наиболее распространенным является комплект, в котором для каждого определенного значения процентной ставки составлена отдельная таблица. Обычно для каждой годовой процентной ставки составляются таблицы при условии ежегодного и при условии ежемесячного начисления процентов. В них по вертикали расположены функции сложного процента, а по горизонтали – периоды (годы). На пересечении дано значение конкретной функции для определенного периода. Все значения функций даны для одной денежной единицы, по сути это коэффициенты функций, которые при расчетах остается только умножить на денежную сумму.