Оператор, сопряженный данному

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве Rⁿ.

При фиксированном векторе скалярное произведение линейно относительно :

;

.:

Найдется такой вектор из линейного пространства Rⁿ, что при всех будет выполняться равенство: .

Этот вектор зависит только от и поэтому можно записать . Вектор определяется вектором , т.е. - оператор, переводящий вектор в вектор .

Покажем, что этот оператор линейный. Действительно, при любых выполняются условия:

Определение. Линейный оператор называется сопряженным оператору , если для любых двух векторов линейного пространства Rⁿ выполняется следующее условие:

.

Каждому линейному оператору соответствует единственный линейный сопряженный оператор .

Свойства оператора, сопряженного данному:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) если существует, то .

Определение. Линейный оператор , совпадающий со своим сопряженным, т.е. такой, что , называется самосопряженным.

Таким образом, если - сопряженный оператор, то для любых двух векторов линейного пространства Rⁿ выполняется следующее условие:

.

Свойства самосопряженного оператора:

1) тождественный оператор является самосопряженным оператором: ;

2) сумма самосопряженных операторов является самосопряженной оператором

;

3) для того чтобы произведение самосопряженных операторов являлось самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы эти операторы были перестановочны между собой

;

4) оператор, обратный к невырожденному самосопряженному оператору, является самосопряженным

;

5) если – сопряженный оператор, то для того чтобы произведение было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы число α было действительным: .

9.6. Собственные значения и собственные векторы
линейного оператора (матрицы)

Пусть – линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Определение. Всякий ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора (квадратной матрицы A), если найдется такое число , что будет выполняться соотношение или в матричном виде

,

где А – матрица оператора в некотором базисе.

Определение. Число λ называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору . Матрица A имеет порядок n.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство в виде , где Е – единичная матрица, а 0 – нулевой вектор пространства Rⁿ, или в координатной форме:

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель , получим уравнение n -й степени относительно неизвестной λ., которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни − характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

1) собственный вектор линейного преобразования имеет единственное собственное значение l;

2) характеристический многочлен оператора, действующего в n -мерном линейном пространстве является многочленом n -й степени относительно l;

3) линейный оператор, действующий в n -мерном линейном пространстве имеет не более n различных собственных значений;

4) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

5) если линейный оператор, действующий в n -мерном линейном пространстве Rⁿ, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве Rⁿ; этот базис называют собственным базисом оператора;

6) матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение или в соответствующую систему однородных уравнений нужно подставить найденные значения λ и решать обычным образом.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Решение.

Вычислим определитель матрицы A

Понизим порядок определителя, домножив второй столбец на выражение (3-l) и сложив его с первым столбцом, а затем воспользовавшись правилом вычисления определителей:

Корни характеристического уравнения – это числа λ₁=2 и λ₂= −2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения λ в систему уравнений

.

При λ = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

Применяя метод Гаусса, находим решение этой системы . Следовательно, собственному значению λ = 2 соответствует собственные векторы вида , где λ - любое отличное от нуля действительное число. При λ = –2 имеем:

~ ~ ~

~ ~ ~ .

Поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

Таким образом, собственному значению λ = –2 отвечают собственные векторы вида , где λ – любое отличное от нуля действительное число.