Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду

Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид

тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого преобразования.

Матрица А называется приведенной к диагональному виду, если существует невырожденная матрица Т такая, что матрица Т ^–1 АТ = В является диагональной.

Столбцами матрицы Т являются координаты векторов этого базиса. Следовательно, если матрица А приведена к диагональному виду, то

где l₁, l₂,..., l _n – характеристические числа матрицы А.

Если все собственные числа попарно различны, то матрица приводится к диагональному виду.

Алгоритм построения матрицы Т:

1) Найти все собственные значения матрицы А;

2) Для каждого значения l _i найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений ;

3) Построить матрицу Т, столбцами которой являются координаты решений всех найденных фундаментальных систем;

4) Если полученная матрица Т является квадратной, то она приводит матрицу А к диагональному виду. Если же матрица Т не является квадратной, то матрица А не может быть приведена к диагональному виду.