Типовой расчет. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А.

,

где n – номер студента в групповом журнале.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется оператором?

2. Сформулируйте определение линейного оператора и приведите его свойства.

3. В чем заключается действие линейного оператора на вектор?

4. Как определяется матрица линейного оператора?

5. Как связаны матрицы линейных операторов в разных базисах?

6. Как матрица называется подобной?

7. Какой оператор называется суммой линейных операторов? Укажите его свойства.

8. Какой оператор называется произведением линейного оператора на число? Укажите его свойства.

9. Какой оператор называется произведением двух линейных операторов? Укажите его свойства.

10. Какой оператор называется сопряжённым по отношению к другому оператору?

11. Какой оператор называется самосопряжённым? Укажите его свойства.

12. Как выглядит характеристическое уравнение оператора?

13. Что такое собственные векторы и собственные значения линейного оператора?

14. Как вычисляются собственные вектора и собственные числа оператора?

15. Каким свойством обладает матрица линейного оператора, характеристическое уравнение которого имеет n различных вещественных корней?

16. При каком условии матрица линейного преобразования имеет диагональный вид?

Вопросы для теоретического опроса

1. Понятие оператора (преобразования). Линейный оператор и его матрица.

2. Линейный оператор и линейное преобразование в координатах.

3. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы.

4. Действия над линейными операторами и их свойства.

5. Сопряжённый и самосопряжённый оператор и их свойства.

6. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы).

7. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.

8. Линейная модель обмена (модель международной торговли).