Типовой расчет. 1. Дана система линейных уравнений

1. Дана система линейных уравнений

,

где n – номер студента в групповом журнале, а k – номер группы студента.

Доказать совместность системы и решить ее: 1) методом обратной матрицы; 2) методом Крамера; 3) методом Гаусса; 4) методом замещения.

2. Найти общее решение системы и одно частное решение методом замещения. Сделать проверку.

3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений. Сделать проверку.

Вопросы для самопроверки

7. Что называется системой m линейных уравнений с n неизвестными?

8. Какая система называется однородной, неоднородной?

9. Что называется решением системы линейных уравнений?

10. решением системы

11. Какая система уравнений называется совместной, несовместной?

12. Какая система уравнений называется определенной, неопределенной?

13. Какие преобразования системы уравнений называются элементарными?

14. Что называется рангом СЛУ и как можно его найти?

15. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛУ).

16. Сформулируйтекритерий определенности СЛУ.

17. Сформулируйте критерий неопределенности СЛУ.

18. Что называется базисной подсистемой СЛУ?

19. Какие переменные называются базисными (основными),свободными (неосновными)?

20. Что такое базисные решения системы?

21. Какое решение СЛУ называется общим?

22. Сформулируйте правило нахождения решения СЛУ в общем случае.

23. Изложите алгоритм нахождения решения совместной СЛУ.

24. Изложите метод Крамера решения невырожденной СЛУ.

25. Изложите метод обратной матрицы решения невырожденной СЛУ.

26. Изложите метод Гаусса решения определенной (неопределенной) системы линейных уравнений.

27. Изложите метод замещения решения определенной (неопределенной) системы линейных уравнений.

28. Что называется однородной системой линейных уравнений?

29. В каком случае однородная система имеет ненулевое решение?

30. Сформулируйте критерий наличия ненулевого решения однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ) и свойства решений ОСЛУ.

31. Какие решения однородной системы линейных уравнений называются фундаментальными?

32. Что называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений?

33. Изложите алгоритм нахожденияФСР ОСЛУ.

34. Из каких решений складывается общее решение неоднородной системы линейных уравнений?

35. Изложите структуру общего решения неоднородной СЛУ.

36. На произвольном примере рассмотреть модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Вопросы для теоретического опроса

1. Системы линейных уравнений, основные определения. Матричная запись системы линейных уравнений.

2. Исследование СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛУ).

3. Критерий определенности СЛУ. Критерий неопределенности СЛУ.

4. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными
методом Крамера и методом обратной матрицы.

5. Решение системы n линейных уравнений с m неизвестными методом Гаусса и методом замещения.

6. Системы линейных однородных уравнений (ОСЛУ). Критерий наличия ненулевого решения ОСЛУ.

7. Фундаментальная система решений. Базисные решения. Правило нахождения ФСР ОСЛУ

8. Структура общего решения неоднородной линейной системы. Связь общее решение неоднородной системы уравнений и соответствующей однородной системы уравнений.

9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
(ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ)

Пусть заданы два линейных пространства Rⁿ и R^m размерности n и m соответственно.

Определение. Правило (закон), по которому каждому вектору линейного пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор линейного пространства R^m, называется оператором (преобразованием или отображением), действующим в линейных пространствах Rⁿ, R^m.

Результат действия оператора на вектор обозначают и говорят, что оператор переводит вектор в вектор .

Определение. Вектор называют образом вектора , а вектор – прообразом вектора элемента .

Определение. Множество элементов линейного пространства Rⁿ, для которых определено действие оператора , называют областью определения оператора и обозначают .

Определение. Множество элементов линейного пространства R^m, которые являются образами элементов из области определения оператора , называют образом оператора и обозначают . Если , то и .

Определение. Оператор (преобразование) , действующий в линейных пространствах Rⁿ, R^m называется линейным, если для любых двух векторов линейного пространства Rⁿ и любого скаляра основного поля a выполняются условия:

– свойство аддитивности оператора.

– свойство однородности оператора.

Если пространства Rⁿ и R^m совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве Rⁿ или оператор отображает пространство Rⁿ в себя. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве Rⁿ.