Ортогональные и симметрические матрицы

Определение. Векторы , ,…, называются ортонормированными, если для любых .

Определение. Матрица А=(a_ij) (i, j=1, 2,…, n) называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов

является ортонормированной.

Примеры ортогональных матриц:

Теорема. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы А выражается равенством

или ,

где А ^Т – матрица, полученная из матрицы А транспонированием, Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Свойства:

1) определитель ортогональной матрицы равен единице;

2) ортогональная матрица является невырожденной матрицей;

3) произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица;

4) матрица, полученная транспонированием ортогональной матрицы, является ортогональной;

5) матрица, обратная ортогональной матрице, является ортогональной.

Определение. Квадратная матрица, которая не меняется при транспонировании A^Т=А (), называется симметрической.

Для каждой симметрической матрицы А существует такая ортогональная матрица Q, что – диагональная матрица.

Алгоритм построения ортогональной матрицы:

1) Строят невырожденную матрицу Т, которая приводит матрицу А к диагональному виду;

2) Столбцы найденной матрицы Т подвергают процессу ортогонализации, а затем нормируют полученные векторы.

Процесс ортогонализации системы векторов – это построение системы векторов по следующим формулам:

Нахождение для каждого вектора системы векторов нормированного вектора по формуле:

называется нормированием данного вектора, где - нормирующий множитель;

3) Строят ортогональную матрицу Q, столбцами которой являются координаты полученной в пункте 2 ортонормированной системы векторов.