Линейный оператор и его матрица

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве Rⁿ, переводящий базисные векторы в векторы .

Любой вектор данного пространства единственным образом раскладывается по векторам данного базиса, т.е.

.

Обозначим образы базисных векторов :

.

Определение. Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов (т.е. a_ij – i– ая координата образа j – ого базисного вектора) называется матрицей линейного преобразования в заданном базисе.

Определение. Рангом линейного преобразования называется ранг его матрицы.

Если в векторном пространстве Rⁿ задан базис, то каждому линейному преобразованию соответствует единственная квадратная матрица порядка n; и обратно – каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.

Для того, чтобы оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А этого оператора был отличен от нуля.

Отметим, что нулевой оператор – это оператор, переводящий все векторы пространства Rⁿ в нулевые векторы , а тождественный оператор – это оператор, действующий по правилу: .

Таким образом, матрица тождественного преобразования в любом базисе будет единичной; обратно, любой единичной матрице n –го порядка соответствует тождественное преобразование n -мерного линейного пространства.