Теорема Чебышева

Вероятность того, что случайная величина R отклонится от своего математического ожидания m больше, чем заданное значение d, не превосходит ее дисперсии s², деленной на d², т. е.:

, (5.4)

где Р(*) обозначает вероятность события *.

Воспользуемся теоремой Чебышева для решения следующей задачи.

Пример 57.

Господин А делает заем под процент r и под залог недвижимости. На полученные взаймы деньги господин А покупает акции. Какова вероятность того, что господин А не сможет вернуть долг и лишится недвижимости?

Решение.

Будем считать, что эффективность R покупаемых господином А акций характеризуется математическим ожиданием доходности m и дисперсией s². Отметим, что сделка имеет смысл, если m>r. Однако вероятность разорения все равно остается. Событие, которое приводит к разорению инвестора, состоит в следующем:

R<r, (5.5)

т. е. эффективность вложения в акции R меньше r процентной ставки займа. Здесь R – случайная величина, а r – детерминированная величина. Из (5.5) следует . Тогда, для вероятности имеем:

.

Далее воспользуемся неравенством Чебышева (5.4):

.

Окончательно, для вероятности разорения инвестора имеем неравенство:

.

Таким образом, вероятность разориться не превосходит величины . Если инвестор хочет, чтобы шанс разориться не превышал , то достаточно выполнения условия: или , т. е. ожидаемая эффективность вложения в акции должна быть больше процентной ставки займа плюс три среднеквадратических отклонения 3s. При этом вероятность разорения будет менее .