Расчет параметров нормального распределения

Размах вариации признака (уровень оплаты труда рабочих по группам оплаты) R_в = х_max – х_min = 17 – 3 = 14 млн. руб.

Оптимальное количество групп (формула Стерджесса):

к_гр.опт = 1 + 3.32 * lg n; lg 74 = 1,9; к_гр = 1 + 3.32 * 1.9 = 7.31;

принимаем к_гр = 7. Величина группового интервала:

и_гр = R_в /к_гр = 14/7 =2 тыс. руб.

Величины нижней и верхней границ первого интервала интервального ряда распределения составляют х_min1 = 3, х_max1 = х_min1 + и_гр = 3 + 2 =5 и т.д. по всем интервальным группа. Данные расчета сведены в таблицу 5.3.

Таблица 5.3. Группы рабочих (f_i) по уровню заработной платы (Фот)

Фот, хi	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13	13-15	15-17	Итого
fi
№ п\п

(для вариантного решения задачи Кв = (N_сп +10) /10; f^в_i = f_i +Кв в гр.3; значение частот округлить до целого)

Критерий согласия К.Пирсона: χ² _расч = Σ (f_i - f_{i о}^т)² / f_{i о}^т ;

χ² _расч < χ² _табл (при n > 50).

Критерий согласия В.И. Романовского на основе критерия Пирсона

К_{р χ} = [χ² - (m – 3)] / ] < 3 (m – 3 – по характеру и условиям решаемой задачи; m =7 – число групп рабочих).

Критерий согласия А.Н.Колмогорова: l_к = D_max / (D_max – максимальное различие накопленных эмпирических и теоретических частот; n = Σ f_i - сумма эмпирических частот; для уровня значимости α = 0,05 и n = 80 (74); l_{к табл} = 1,015 [5, c. 386])

Для расчета χ² _расч необходимо построить таблицу 12.2.

Теретическое значение частот для критерия согласия Пирсона определяется по фармуле

f_i ^т = [(n* и_гр) / σ ] * [ ];

t_i = (х_i - х_{i ср} ) / σ – величина нормированного (стандартного) отклонения (доверительного интервала) кривой нормального распределения;

основание натуральных логарифмов (экспонента) ℮ и число π – постоянные математические величины.

х_{i ср} определяется как средняя арифметическая взвешенная

х_{i ср} = Σ (х_i f_i) / Σ f_i =-740 / 74 =10 тыс руб.

Среднее квадратической отклонение

σ = = = =2,99, принимаем σ=3.

Постоянный множитель К_f:

К_f = (n* и_гр ) / σ = (74 * 2) / 3 =49,3;

и_гр = 2 величина группового интервала (см. гр. 2).

Таблица 5.4. Расчет теоретических частот нормального распределения (ты сруб.)

№ п\п	хi	fi	хi ц	хi ц *fi	ti	yt	fi т	fi от	fi - fi от	(fi - fi от )2 / fi от
	3-5				- 2,0	0,0540	2,66			1,33
	5-7				-1,33	0,1647	8,12
	9-7				-0,66	0.3209	15,82			1,56
	9-11					0,3989	19,67			0,84
	11-13				0,66	0,3209	15,82
	13-15				1,33	0.1647	8,12			0,13
	15-17					0,0540	2,66			0,33
-	Итого		-		-	-	-		-	4,19

Примечание: Значения в графах 3 и 9 имеют расхождение (74 и 73) в связи с округлениями f_i ^т.

Ф_t (y_t) = кривая нормального распределения Лапласа-Гауса.

Значения функции Ф_t в зависимости от расчетных величин t_i выбираются по таблице [3, с. 320].

По таблице распределения Пирсона [3, с. 321] для числа степеней свободы к_св = m -3 = 4 (m = 7 – число интервалов) и вероятности Р = 0,95 (коэффициенте значимости α = 0,05) χ²_табл = 9,5.

По таблице 5.4. (гр. 11) χ² _расч = Σ (f_i -f_{i о}^т)² / f_{i о}^т = 4,19,

Следовательно, условие по критерию согласия К. Пирсона выполняется χ² _расч = 4,19 < χ² _табл = 9,5_. Принятая гипотеза о нормальном распределении исследуемой зависимости не отвергается (признается).

По критерию согласия В.И. Романовского:

К_{р χ} = [χ² _расч - (m – 3)] / ] = [4,19 - (7 – 3)] / )] =

= 0,19 / = 0,19 / 2,83 = 0,067; К_{р χ} = 0,067 < 3.

Условие по критерию согласия В.И. Романовского выполняется, что подтверждает гипотезу о нармальном законе рспределения изучаемой зависимости.

Для определения критерия согласия Колмогорова расчет разностей накопленных частот (кумулят) приведен в таблице 5.5.

Таблица 5.5. Расчет накопленных частот (кумулят) распределения

эмпирич. S fi
тоеретич.S fi т
D= S fi - S fi т

D_max = 3; l= D_max / = 3 / = 3 / 8,6 = 0,35;

l _расч = 0,35 < l _табл = 1,015.

Гипотеза о нормальном характере распределения фонда оплаты труда рабочих (Фот) и их чиленности (f_i) по критерию согласия А.Н. Колмогорова выполняется.

Рис. 5.6. Эмпирическое (пунктирная линия по f_i) и теоретическое (сплошная линия по f_{i о}^т) нормальное распределение (разрыв оси 0-х условный)

Линии эмпирического и теоретического распределения на графике (рис.5.6.) по условиям задачи подтверждают гипотезу о нормальном законе распределения уровня оплаты труда рабочих и численности, рабочих в группах на данном предприятии.

Общие выводы:

Подтверждение принятой гипотезы о характере распределении позволяет с заданной (высокой) вероятностью (Р = 0,95) сделать два важных вывода.

1) По принятым критериям согласия К. Пирсона (χ² _расч > χ² _{табл .} )_, В.И. Романовского (К_{р χ} < 3) и А.Н. Колмогорова (l _расч< l _табл ) исследуемое распределение действительно подчиняется выявленному нормальному закону распределения.

2) Все расчетные параметры (х_{i ср} , σ и др.) достоверны и типичны для данного вида зависимостей и закономерностей и могут быть использованы для моделирования, прогнозирования, анализа и планирования фондов оплаты труда рабочих на данном предприятии.

.