Нормальный закон распределения. Критерии согласия

Большинство социально-экономических массовых явлений и процессов, изучаемых с помощью ранжированных рядов распределения, подчиняются нормальному закону распределения. При нормальном распределении, с увеличением величины изучаемого признака единиц статистической совокупности, соответствующие им частоты вначале возрастают до некоторой максимальной величины и затем убывают, асимптотически приближаясь к минимальным значения относительно их симметричного начального значения (рис.5.4).

Рис.5.4. График нормального закона распределения (у_t). Для симметричного распределения М_о = х_ср

Примечание: у_t – ордината (частота) кривой нормального распределения; t – нормальное отклонение, характеризующее величину доверительного интервала с определенной вероятностью.

Для теоретической симметричной кривой нормального распределения всегда величины средней х_ср, моды (Мо) и медианы (Ме) равны между собой (М_о = х_ср = М_е), т.е. принадлежат одной и той же варианте, которая расположена в середине ряда - в центре распределения с общей вершиной одновершинной симметричной колоколообразной кривой (рис.5.4).

Замена ломаной эмпирической линии фактического распределения его теоретическим аналогом - функциональной кривой распределения, имеющей аналитическое выражение (формулу), представляет собой процесс сглаживания или функционального выравнивания (аппроксимации, замены), связанного с возникновением отклонений и ошибок аппроксимации, для учета которых используются различные критерии согласия (К. Пирсона, А.Н.Колмогорова, В.И. Романовского и др.) и методы оценки характера, величины, направления отличий и асимметричности аналоговой кривой.

Асимметричность вершины (отклонение фактического распределения и его аналоговой модели относительно симметричного в теоретическом распределении) оценивается сравнением величины средней с величиной моды или медианы в аналоговой кривой путем расчета коэффициента асимметрии As (м_о) = (х_ср - М_о) / σ или As (м_е) = (х_ср – М_е) / σ. Для асимметричного нормального распределения М_о, х_ср и М_е не равны между собой. При М_о < х_ср смещение положительно (As>0) и вершина распределения (мода) смещена влево (на графике средняя справа от моды), при этом правая часть распределения больше левой. Такая асимметрия является (и называется) правосторонней. При х_ср < М_о смещение имеет отрицательное значение (As<0) и вершина распределения (мода) смещена влево (на графике средняя слева от моды). При этом левая часть распределения больше правой. Такая асимметрия является левосторонней. При As / σ >3 асимметрия признается существенной с несимметричным распрелделением изучаемого признака в генеральной совокупности.

Согласно теории нормального распределения теоретическая типовая кривая распределения (см. рис. 5.1, у_тt^т) имеет характеристические точки перегиба, которым соответствуют значения стандартного отклонения и среднего квадратического (стандартного) отклонения σ (t = 1 или tσ = ; t = 2 или tσ = ; t = 3или tσ = ) и вероятности этих отклонений (Р_{t = 1} = 0,683; Р_{t = 2} = 0,954; Р_{t = 3} = 0,997). В условиях нормального распределения имеет место взаимосвязь между значениями t, σ, Р_t и количеством единиц совокупности в пределах кратных значений tσ. При t = 1 и P_t = 0,683 в пределах х_ср располагается 0,683 или 68,3% общего количества единиц статистической совокупности исследуемого массового явления. Соответственно, при t = 2 и P_t = 0,954 в пределах х_ср располагается 0,954 или 95,4%,а при t = 3 и P_t = 0,997 в пределах х_ср располагается 0,997 или 99,7% общего числа единиц совокупности.

Использование теоретических кривых нормального распределения позволяет осуществлять моделирование, сравнение, анализ, прогнозирование и планирование социально-экономических показателей хозяйственной деятельности.

Рис. 5.5. Ассиметричное распределение: а) при As>0 - правосторонняя асимметрия, б) при As<0 - левосторонняя асимметрия.