Глава 2 Вывод уравнений и постановка задач математической физики

Дисциплина «Математическая физика» возникла как математический аппарат изучения физических полей. В настоящее время круг вопросов математической физики связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления из области гидродинамики, теории теплопроводности, электродинамики, теории упругости и т.д. Математические задачи, которые являются моделями исследуемых процессов, содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. Во многих случаях математическими моделями реальных процессов являются дифференциальные уравнения с частными производными при определенных начальных и граничных условиях.

В данном пособии рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными второго порядка.

Все многообразие линейных относительно старших производных (или просто линейных) уравнений может быть разделено на три класса (типа): гиперболический, параболический и эллиптический.

Уравнения в частных производных 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессом колебания; параболического типа – в задачах теории теплопроводности, диффузии. При исследовании стационарных процессов различной физической природы обычно приходят к уравнениям эллиптического типа.

Для изучения физических задач с помощью дифференциальных уравнений нужно, прежде всего, дать математическую формулировку задачи. Это делается по следующему плану:

1. Реальный физический процесс (явление, объект) заменяется некоторым идеальным процессом (явлением, объектом), причем так, что последний значительно проще первого, но в то же время сохраняет его основные черты (идеализация процесса).

2. Выбирается величина (функция), характеризующая процесс, и законы, по которым он происходит.

3. На основании выбранных законов выводится дифференциальное уравнение для величины, характеризующей процесс.

4. Также в соответствии с выбранными законами выводятся дополнительные условия - начальные и граничные.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляет собой математическую формулировку физической задачи и называется задачей математической физики.